2018 Fiscal Year Research-status Report
1次元及び高次元複素力学系における implosion の理論とその応用
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16K05213
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| Research Institution | Tokyo Polytechnic University |
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Principal Investigator |
中根 静男 東京工芸大学, 工学部, 教授 (50172359)
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2016-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | サドル不動点 / Lavaurs 写像 / fiber Julia 集合 / fiber Julia-Lavaurs 集合 / スーパーサドル / finger |
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| Outline of Annual Research Achievements |
１．写像が二つのサドル不動点で線形化可能な場合の Lavaurs 写像への収束、fiber Julia 集合の fiber Julia-Lavaurs 集合への収束、fiber Julia-Lavaurs 集合のトポロジーに関する結果をまとめた、連携研究者の稲生啓行氏との共著論文が Indiana University Mathematics Journal に掲載された。本研究の基本的な部分が完成したことになる。
２．Incoming サドル不動点でのヤコビ行列の固有値がゼロになるスーパーサドルの場合、Lavaurs 写像が恒等的にゼロになること、fiber Julia 集合がサドルの安定集合の閉包に収束することを証明し、学会等で発表した。本研究の動機がスーパーサドルの場合に fiber Julia 集合が不連続にふるまうという奇妙な現象の解明にあり、その回答が与えられた。
３．Vertical critical point が収束するような base variable z の集合は、１変数の場合の connectedness locus に対応する。Incoming サドル不動点に対応する点 z に finger-like な部分集合が現れることがあり、その部分集合たちを fingers という。数値実験から incoming サドル不動点がスーパーサドルになる場合は、fingers の個数が無限個、スーパーサドルでない場合は有限個になると予想される。京都大学の宍倉光広氏と議論することにより、２次の一つのスーパーサドルの例の場合ではあるが、この予想の証明の基本的なアイデアが明確になり、その方向で証明が完成しつつある。無限個の fingers という現象も早い時期に観測されていたことである。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
１．写像が二つのサドル不動点で線形化可能な場合の結果をまとめた論文が雑誌に掲載された。
２．Incoming サドル不動点がスーパーサドルの場合に、fiber Julia 集合がスーパーサドル不動点の安定集合の閉包に収束することを証明することができた。これは本研究の当初の目標であった。
３．Fingers の個数について、数値実験から予想される結果を証明する方針が明確になった。
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| Strategy for Future Research Activity |
１．Fingers に関しては、まず、現在考察しているスーパーサドルの例に対して、fingers が無限個あることを証明する。そして、その結果をできるだけ一般の場合に拡張する。一般の場合は計算は大変だが、方針ははっきりしている。次に、スーパーサドルでない場合には、線形化座標を用いて fingers が有限個であることを証明する。
２．Outgoing サドル不動点での標準化の問題を引き続き検討する。この問題は現時点では fingers の個数の評価に必要なことが分かったので重要である。
３．これまでは、サドル不動点の安定多様多様体と不安定多様体が複素１次元的に交わる場合を考察してきたが、一般にはこの交わりは離散的になる。そのような場合に implosion の理論を構成する。写像が skew product ならば同様の議論が可能と予想しているが、skew product でないと fiberwise dynamics が存在しないので、まったく新しい枠組みが必要になる。そこで、今年度購入したコンピュータを用いて数値実験を行う。また、国内外の実力学系や高次元複素力学系の研究者に助言を得るために、海外出張や国内出張を行う。
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| Causes of Carryover |
年度末になって論文掲載料を支払うことになったが、料金と手数料が予算を超過しないように気を付けて予算を少しだけ余らせた。今年度ノートPCを購入したので、次年度に周辺機器・ソフトウエアを購入する費用に充てる予定である。
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