2016 Fiscal Year Research-status Report
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16K05232
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| Research Institution | Hiroshima University |
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Principal Investigator |
川下 美潮 広島大学, 理学研究科, 教授 (80214633)
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2016-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 時間依存型逆問題 / 境界値逆問題 / 囲い込み法 / 複数種の波 / 波源推定逆問題 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
境界値逆問題の解析では、空洞や介在物の情報を引き出すために用いる「指示関数」と呼ばれる関数を導入し、この「指示関数」から如何にして空洞や介在物までの距離などの幾何学的な量を取り出すことができるかについて調べることが重要である。この作業の過程で、レゾルベントやその積分核である基本解の漸近挙動が必要になる。これまでの代表者らによる研究で、熱方程式の境界値逆問題に対しては、「最初に内部の境界にぶつかる点までの最短の長さ」を計測しているという解釈が成り立つことが明らかになってきた。
この研究では、速度の異なる複数種類の波が存在する媒質内における空洞や波の発生源をとらえる逆問題を、レゾルベントの漸近解析を援用した「囲い込み法」により考察し、この場合も上記の解釈が成り立つかどうかについて調べることが主な目標である。複数種類の波が存在する状況の一つとして次の場合が考えられる。
(A) 2層媒質問題のように、接合境界があることにより異なる伝播速度をもつ波が現れる。
平成28年度は、上記(A)にあたる層状媒質のときに研究を進めた。その第一段階として、「①層状媒質に対する基本解で、今後の研究に必要となる表示を調べ、その漸近挙動を導く」について考察を行った。その結果、全反射現象が起きない場合には①についてほぼすべての作業が完了した。そこで、当初計画とは若干異なるが、全反射が起きない場合に限定して研究を進め、その次の研究段階である
②無限回観測、または一回観測(I)の場合に、この問題に対する「最初に接合面下部の境界にぶつかる点までの最短の長さ」を導く。
についても考察を行い、最短の長さが屈折の法則に従う経路により与えられることが確認された。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当該年度に予想していた研究計画とは若干異なるが、研究計画全体から見れば、順調に推移していると考えられる。これまでこの方面の研究によれば状況設定は異なるが、どの場合も「最初に内部の境界にぶつかる点までの最短の長さ」を計測しているという解釈が成り立つことがわかっている。当初計画では、必要となるレゾルベントの漸近挙動をすべての場合に先に調べておき、その結果を用いてこの問題における上記の「最短の長さ」について考える予定であった。しかし、本研究の最終目標は「最短の長さ」がどうして分かるのかという構造について明らかにすることにある。そこで、全反射が起きない場合のみに限定して、研究を先に進め、この部分については新たな知見を得た。全反射が起きる場合の基本解（レゾルベントの積分核）の漸近挙動について調べるのは後回しになったが、本来の目標に部分的ではあるが少し近づいたという点を考慮すると、概ね順調に研究が進んでいると考えられる。
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| Strategy for Future Research Activity |
この研究における基礎を固めるため、これまでに得た知見を研究論文にまとめ出版する作業を優先させたい。次の研究方向としては、当初の大きな研究方針に沿って、全反射現象が起こる場合の取り扱いについての考察を行うことを考えている。研究方法としてはこれまでの方針通り、
①層状媒質に対する基本解で、今後の研究に必要となる表示を調べ、その漸近挙動を導く。
②無限回観測、または一回観測(I)の場合に、この問題に対する「最初に接合面下部の境界にぶつかる点までの最短の長さ」を導く。
の順に行う。この問題の場合は、最短を与える点のまわりでの基本解の漸近挙動のみが問題になるはずなので、その部分のみを取り出すことを考えることにより、必要な解析が行えると考えている。
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