2019 Fiscal Year Research-status Report
閉曲面上のグラフの極大1-交差埋め込みに関する研究
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16K05250
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| Research Institution | Niigata University |
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Principal Investigator |
鈴木 有祐 新潟大学, 自然科学系, 准教授 (10390402)
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2016-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 1-平面グラフ / グラフマイナー / 完全多部グラフ / 有向グラフ |
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| Outline of Annual Research Achievements |
射影平面上に1-交差埋め込み可能な完全多部グラフの特徴付けに関する結果を論文にまとめる作業を行った．その過程でさらに議論を深め，いくらかバラバラになっていた補題をまとめることで証明を簡潔にし，論文全体の長さを短くすることができた．また，トーラス上のグラフに対して同様の問題を考えているが，こちらは未だ解決に至っていない．（完全二部グラフまでは結果を出し議論をまとめることができているが，K_{3,3,4}がトーラスに1-交差埋め込み可能かどうかがわかっていない状況である．完全3部グラフに関してもK_{3,3,4}以外は議論が完了している．）射影平面の際の議論と同様の方法でその判定を行おうとすると場合分けが非常に多くなってしまうことがわかっているので，現在，計算機を用いた判定を行うことを検討している段階である．
また，修士2年に在籍していた曽根氏との共同研究では，完全グラフK_7をマイナーに持つ射影平面上の最適1-交差埋め込みの特徴付けをすることにも成功した．現在は，詳細を詰め論文にまとめる作業を行っている段階である．慶應大学の松本氏との共同研究では，グラフの辞書式積の1-平面性に関する論文をまとめ専門誌に投稿した．（既に採録が決定している．この結果を9月にスロバキアで行われた研究集会で発表した．）さらに，東京理科大学の川谷氏との共同研究では，有向グラフの1-平面性に関する議論を行い，その中でも“良い”描画をもつための特徴付けを得ることに成功している．（この結果を6月にスロベニアで行われた研究集会で発表している．）
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
「研究実績の概要」にも記述した通り，K_{3,3,4}がトーラスに1-交差埋め込み可能かどうかは未だに決定できておらず，議論は若干硬直した状態になっている．ただし，完全二部グラフの結果とK_{3,3,4}以外の完全3部グラフの結果を精査し再度まとめ上げることによって，その問題点を整理することができている．完全グラフK_7をマイナーにもつ射影平面上の最適1-交差埋め込みの特徴付けに関しては，当初予想していた以上にきれいな結果を得ることができた．その過程では，非交差辺からなる四角形分割に関するシンプルな補題を用意することで簡潔な証明を行うことができている．松本氏との共同研究であるグラフの辞書式積の1-平面性に関する研究結果はその証明と同時に論文としてまとめることができており，既に専門誌への採録が決定している状況である．有向グラフの1-平面性に関する議論は既存の結果があるわけではないが，新たな概念の定義から基本的な結果の証明までを簡潔に済ませることができ，既に論文としてまとめることができている．
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| Strategy for Future Research Activity |
曽根氏との共同研究で得られた射影平面上の最適1-交差埋め込みの特徴付けに関する結果を論文にまとめる．その際の証明などは，現在私と曽根氏のみが理解している状態であるが，小さいセミナーなどで発表を行いその結果や証明方法に関する他の研究者からのレビューを受けることでより良いものに近づけていく．川谷氏との共同研究である有向グラフの1-平面性に関する議論については，横浜国立大学の中本氏も交え一般の閉曲面上の議論へと拡張していく．（既に，その議論をスタートさせている．）K_{4,3,3}のトーラスへの1-交差埋め込み可能性については，この近辺の話題に詳しい木更津高専の佐野氏と計算機を用いた議論が可能か検討している状況である．
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| Causes of Carryover |
新型コロナウイルス感染症のため３月に参加を予定していた2020年度日本数学会年会及びRIMS共同研究「局所変形を用いたグラフの諸問題へのアプローチ」が中止になったため．次年度はその残額を利用し，研究集会もしくは他大学で行われるセミナーに参加して本研究課題に関する結果を発表し，他の研究者からのレビューを受ける予定である．
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