2017 Fiscal Year Research-status Report
作用素論に基づいた量子情報理論における幾何学的構造に関する研究
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16K05253
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| Research Institution | Osaka Kyoiku University |
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Principal Investigator |
瀬尾 祐貴 大阪教育大学, 教育学部, 教授 (90439290)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
藤井 淳一 大阪教育大学, 教育学部, 教授 (60135770)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 相対作用素エントロピー / Tsallis相対作用素エントロピー / 作用素平均 / 多変数作用素平均 / 作用素不等式 / 正定値行列 / 作用素幾何平均 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究は、ヒルベルト空間上の作用素不等式及び行列解析の手法をもとにして、情報幾何学や量子情報理論などの分野のさまざまな幾何学的様相に絡んだ定量的な評価を中心に考察し、作用素論的な枠組みの構築とその幾何学的構造を解明することが主目的である。その目的の達成のために、ヒルベルト空間上の線形作用素や行列の枠組みの中で定式化を試みるものである。
前年度は、Petzによるquasi-entropyの具体例として、負パラメーターを持つTsallis相対エントロピーの作用素版を負パラメーターを持つ作用幾何平均を用いて定式化をした。本年度は、そのTsallis相対作用素エントロピーの性質を研究し、Tsallis方程式の解の性質を詳しく調べた。その解は、作用素べき平均と呼ばれ、多変数作用素平均としての性質を満たしているが、とりわけ、トランス不等式の関連で、これまで負パラメーターの場合の作用素べき平均の情報単調性について、未解決であったが、今回それを肯定的に解決できた。また、情報単調性に対する不等式の商及び差についての評価式も与えられた作用素のスペクトルの評価で与えることができた。今回は、Karcher方程式またはTsallis方程式の解空間の性質を詳しく調べ、それによって、解のselfadjoint性と解の存在範囲が同値であることがわかった。それは、多変数作用素幾何平均の非可換構造の解明に近づいたと考えられる。この分野での多くの応用が期待される。
これらに関連して、行列空間上の行列値内積の研究に対して、行列幾何平均の考えをもとに、コーシー・シュワルツ不等式の精密化に成功した。このことは、これからの行列空間の計量的な考察に大きく寄与するものと考えられる。作用素論的な視点での幾何構造の解明に大いに寄与することが期待できる。詳細は研究発表の欄を参照されたい。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
詳しくは、研究業績欄を見ていただくとして、主な成果をここにあげる。日本数学会総合分科会（函数解析学分科会）では、負パラメーターのTsallis相対作用素エントロピーの基本的な性質やその存在条件について、また、行列幾何平均の用いたコーシー・シュワルツの不等式をもとにして、Wielandt型の行列不等式の定式化について、また、Hopf代数の元表現の導入についての発表、京都大学数理解析研究所のRIMS研究集会では、負パラメーターのTsallis方程式の解である作用素べき平均の基本的な性質や、作用素平均と一般擬逆元について発表、城西大学でのJMM ワークショップ「応用函数解析」では、梅垣相対エントロピーとTsallis相対エントロピーの負版の比較や、量子ゲートとTQCについての発表などを行い、私たちの研究成果を広く発信し、また、この分野での多くの研究者と意見交換できた。
学術文献としては、多変数作用素幾何平均に関する結果や、行列値内積に関するコーシー・シュワルツ不等式の応用事例などが、Publ.RIMS Kyoto Univ. Journal of Mathematical Inequalities, RIMS Kokyuroku, Linear Algebra Appl., Linear and multilinear algebra などに研究成果が掲載または掲載予定である。
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| Strategy for Future Research Activity |
この研究の最終年度において、ヒルベルト空間上の作用素不等式や行列不等式の成果のもとに、情報幾何学や量子情報理論などの分野における幾何学的構造の解明において明らかになった事柄を中心にまとめる。具体的には、幾何学的な観点から情報幾何学の研究を、ヒルベルト空間上の線形作用素の枠組みの中で定式化を試み、これまで作用素論の中で築いてきた基礎理論との十分な連携を図り、その上で、作用素不等式の観点から、情報幾何学や量子情報理論を、行列や作用素の枠組みの中で、新たに捉えなおし、その定量的な評価を中心に考察を行う予定である。また、日本数学会や京都大学数理解析研究所（RIMS）研究集会、作用素論・作用素環論研究集会、さまざまなWORK SHOPでの講演や参加を通じて、意見交換をし、細部・最新の結果の情報収集にも努め、他の研究者との交流をさらに深め、最終の研究成果の公表にまとめたい。
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