2019 Fiscal Year Annual Research Report
Studies on noncommutative algebraic geometry and generalized complex geometry
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16K13746
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
大川 新之介 大阪大学, 理学研究科, 准教授 (60646909)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
後藤 竜司 大阪大学, 理学研究科, 教授 (30252571)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 非可換代数幾何学 / AS正則代数 / 導来圏 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
3次元Artin-Schelter正則cubic Z代数(以下cubic Z代数)と呼ばれる非可換代数のクラスが存在する。このクラスの代数Aに対し、右加群からなる圏Mod Aをtorsion加群からなる部分圏で局所化して得られる圏Qmod Aを非可換2次曲面と呼ぶ。特殊なAについてQmod Aは非特異2次曲面のQcohと圏同値になり、一般のAについてQmod Aはそのabel圏としての平坦変形を与える。逆に、全てのformalな変形はそのような形で得られることが証明されている。Van den Berghの先行研究により、cubic Z代数の同型類集合には無限2面体群の作用があり、同じ軌道上のZ代数は同値なQmodを与えることが示されていた。これは非可換射影平面の場合と本質的に違う状況になっている。
学生の北村拓也さんとの共同研究により、同値なQmodを与えるcubic Z代数同士が同じ軌道に入ることが証明できた(再構成問題の解決)。証明のポイントは、圏に内在的な性質だけで特徴づけられる「直線束対象」なる対象のクラスを定義し、かつ、その全てを与えられたZ代数から「変異」を用いて構成することである。
(非可換)2次曲面は2次のHirzebruch曲面F2への退化を持つが、一方で、F2の導来圏には球面捻りと呼ばれる特殊な自己同値が存在する。上述の群作用は、これらの自己同値によって説明できるということもわかった。
報告者らの研究によって任意の次数の非可換del Pezzo曲面に対応するAS正則代数のクラスが定義されている。以上の結果とそれを得るための手法をそれらに対しても拡張できると考えているが、今後の課題である。
また、(stackとしての)重み付き射影平面P(1,1,2)が2次曲面に非可換変形できることを発見した。これは一般のorbifoldの非可換変形の理解に役立つと考えている。
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