2017 Fiscal Year Research-status Report
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16K13748
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| Research Institution | Hiroshima University |
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Principal Investigator |
木村 俊一 広島大学, 理学研究科, 教授 (10284150)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
島田 伊知朗 広島大学, 理学研究科, 教授 (10235616)
石井 亮 広島大学, 理学研究科, 教授 (10252420)
高橋 宣能 広島大学, 理学研究科, 准教授 (60301298)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | モチーフ / Bloc 予想 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
代数閉体上の２次元代数多様体で０次元のChow群がトリビアルなものの族が与えられたとする。このとき、任意のファイバーの任意の２閉点に対して、その２点が有理同値であることをあらわすデータとして、有限本の代数曲線とそれぞれの上の有理関数の組で、それらの因子の和が２点の差になるようなものが存在する。そのデータに対して、そこにあらわれる代数曲線の本数、あらわれる代数曲線の arithmetic genera の最大値、そして有理関数のdegree の最大値、というような「有理同値のデータの大きさ」を考えることができる。このとき、この有理同値のデータがファイバー及び２点の取り方によらずに上に有界に取れることを証明した論文 Numerical Boundedness on Rational Equivalences of zero cycles on algebraic varieties with trivial CH_0 （Mao Sheng 教授および Mingwei Zhang 氏との共著）を発表した。この結果を用いて、代数曲面の族でgeneral fiber の0次元Chow 群がトリビアルになようなものがあれば、special fiber も同様の性質を持つことが証明できる。
また、Infinitesimal なモチビックChow級数の有理性について、一般の代数多様体の場合には有理的にならないことが研究代表者の研究グループ（木村黒田高橋）と、メキシコーカナダの研究グループ（Chen, Elizondo, Yang）により独立に証明されたが、一方トーリック多様体やグラスマン多様体などに対しては有理的になることが期待されている。トーリック多様体の１次の場合に、有理性の証明が完成し、現在投稿準備中である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
モチーフが有限次元的な代数多様体が変形で保たれる、という予想の証明が本研究課題の目標であるが、その部分的解決に成功し、論文として発表した。手法は、有理同値関係の変形であり、シンプルなChow 群を持つ代数多様体の族において、その有理同値関係が「有界」であることの定義を与えて、証明した。今後この成果を一般化していくときのプロトタイプとなるべき成果をあげた。
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| Strategy for Future Research Activity |
これまでの研究では０次元サイクルについてのみの研究となっているが、一つの進むべき方向は、高次元サイクル、特に中間次元のサイクルがシンプルであると仮定した代数多様体族への拡張である。general fiber が有限次元モチーフを持つ代数多様体の族があれば、その Special fiber も有限次元モチーフを持つ、という成果が期待される。
もうひとつの重要な一般化の方向として、p進rigid 的な脈絡で同様の定理が成り立つかどうかを調べることである。共同研究者のMao Sheng 教授は p進rigid 幾何学の専門家であり、例えばその視点からMumford の Fake Projective Plane のモチーフの有限次元性が証明できそうだと考えている。
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| Causes of Carryover |
p進rigid 解析についてこちらで準備をしてから本格的な共同研究に進む予定であったが、その準備に遅れが生じたため。昨年分の遅れも含めて今年度 Mao Sheng 教授との共同研究を進める。
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