2016 Fiscal Year Research-status Report
エルゴード理論と複素解析を用いたKlein群論の再構成
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16K13756
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
大鹿 健一 大阪大学, 理学研究科, 教授 (70183225)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
角 大輝 大阪大学, 理学研究科, 准教授 (40313324) [Withdrawn]
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | Klein群 / 複素力学系 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
極限集合間の同変連続写像，いわゆるCannon-Thurston写像についての研究を行った．Thurstonの提出した重要な問題として，「変形空間でCannon-Thurston写像が連続に振る舞うか」というものがある．Mj-Seriesは擬Fuchs群が強収束するときはCannon-Thurston写像は一様収束することを示している．一方幾何的極限が代数極限より真に大きい場合は，各点収束すらしない例があることも，Mj-Seriesにより与えられている．
今回Mahan Mjとの共同研究で，擬Fuchs群で変形空間の境界の群に代数収束する列について，Cannon-Thurston写像が各点収束するための必要十分条件を与えることができた．具体的には以下のことを示した．Cannon-Thurston写像が各点収束しないのは次の条件が満たされる時のみである：(1)代数極限がpartially degenerateであり，(2) simply degenerate endで，幾何的極限のcoupled endに持ち上がるものがあり，(3) (2)のendの近傍の境界にはuntwisted cuspがあり，(4) (2)のendのending laminationと(3)のcuspのparabolic curveが作るcrown domainがcoupled endの片割れで実現できる．Mj-Seriesの反例は典型的にこの状況になっているが，その他にも様々な種類の反例を具体的に構成することもできる．さらにこのような各点収束が成り立たない状況で，収束が崩れるのは上のような実現を持つcrown domainのtipsにおいてのみであることも示せた．
この結果は2017年2月に中国科学院の研究集会で紹介した．今後論文として出版する予定である．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
Cannon-Thurston写像に関する重要な問題を解決することができた．これは従来の３次元幾何的方法のみに頼っていては，解けなかったものであり，本研究の重要な成果である．
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| Strategy for Future Research Activity |
Cannon-Thurston写像の収束についてはさらに，一般の場合の問題が残っているので，これを推進したい．またCannon-Thurston写像のnon-injective pointsの解析についての研究にも取り掛かる．
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| Causes of Carryover |
今年度開始した韓国，インドとの共同研究は，現地に赴き研究を推進するつもりであったが，相手国の都合と合わせることができなかったため，韓国，インドへの出張は次年度に行うことにした．
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
今年度は韓国，太田のKAISTに赴き，共同研究を推進する．特にCannon-Thurston写像のnon-injecitive pointの研究，pseudo-Anosov写像のダイナミクスについての研究を完成させることを目指す．またTata InsituteのICTSに出張し，Cannon-Thurston写像の収束に関するMahan Mjとの共同研究を完成させる．
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