2017 Fiscal Year Research-status Report
エルゴード理論と複素解析を用いたKlein群論の再構成
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16K13756
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
大鹿 健一 大阪大学, 理学研究科, 教授 (70183225)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
角 大輝 大阪大学, 理学研究科, 准教授 (40313324) [Withdrawn]
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | Klein群 / 不連続性 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
Klein群の変形空間で，連続に動くもの，不連続に動くものを考え，それを元に変形空間の位相的構造を解析することを行った．不連続なものとして重要なのは，end invariantとCannon-Thurston写像である．end invariantの不連続性を幾何的極限の様子を用いて記述することに成功した．Cannon-Thurston写像については，Tata研究所のMahan Mjとの共同研究において，不連続点の制すつが明らかにされた．これを用いて変形空間に幾何的極限が及ぼす影響が解析された．特に射影的lamination空間の力学系的構造が不連続点の存在の有無に影響を及ぼすことが明らかにされた．
これを契機にStrasbourg大学のPapadopoulos氏とlaminationの空間の対称群を決定する仕事を始めた．最初はmeasured lamination spaceに幾何的交点数で決まる形式を考え，それを保つ全単射の全体について考察し，それが拡張された写像類群に一致することを証明した．これは宮地によるTeichmuller空間のextremal lengthを用いた解析的コンパクト化での剛性と符合する結果である．つぎにはHausdorff収束の非対称のものを考え，これを保つ群が拡張された写像類群であることをしめすことに取り組んでいる．この結果は本物のHausdorff位相の場合の対称群を決定するという，未解決問題に取り組むための重要なステップであると考えられる．
このような剛性の研究はその他の境界構造にも広げることにより，Teichmuller空間の様々なコンパクト化の比較についての結果を導いた．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
複素解析的，エルゴード理論的考察を随所で行い，Klein群と写像類群についての新しい成果をえることができた．これまでの3次元多様体論に大きく依存した研究方法とは異なる，新しい視点を持ち込むことに成功した．これは今後のこの分野の発展につながる大切なステップであると考える．今のところこの研究方法は順調に成果を挙げているといえる．
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| Strategy for Future Research Activity |
Laminationの空間の対称群の研究，特にその剛性については，今後より深く空間の様々な構造について解析を続ける．さらにKlein群については，skinning mapについての研究の重要なステップとなる，bounded image theoremの一般邸な形での証明を与える．これはThurstonによってannounceされたにもかかわらず，現在までまだ証明が与えられてない結果で，本研究によりこの証明が与えられれば，我々の研究手法の有効性を大きく示すものとなる．
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| Causes of Carryover |
研究の主要な部分をなす，Strasbourg大学のPapadopoulosとの共同研究が先方の都合により，3月から4月と年度をまたいで行われたため，4月以降の研究を次年度予算に回す必要が生じた．
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