2017 Fiscal Year Annual Research Report
Construction of time discrete geometric models based on discrete differential geometry
| Project/Area Number |
16K13763
|
|---|
| Research Institution | Kyushu University |
|---|
Principal Investigator |
梶原 健司 九州大学, マス・フォア・インダストリ研究所, 教授 (40268115)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2018-03-31
|
| Keywords | 解析学 / 離散微分幾何 / 離散曲線 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
(1)(i)Wadati-Nakayamaの曲線短縮方程式の離散化を改良し，離散曲線短縮方程式を定式化した．ポイントは離散曲率としてこれまでの研究成果を反映した量を採用したことである．(ii)離散複素曲率が離散時間非線形シュレディンガー方程式で記述されるような，周期境界条件下での渦糸の変形に対する離散時間モデルの構築に成功し，安定な数値シミュレーションに成功した．同様に，周期境界条件下でのlattice Landau-Lifschitz方程式が記述する渦糸の離散モデルを定式化し，同様のシミュレーションを行った．(iii)Sogo，BobenkoによるEulerの弾性曲線の離散モデルを考察し，弾性エネルギーの離散版を導入して，離散曲線に対する離散変分原理を用いて定式化した．
(2)(i)Hele-Shaw流を記述する複素Dym方程式および外力項付きの複素Dym方程式を導出し，その双線形方程式を導いた．また，ホドグラフ変換により複素係数の変形KdV方程式を得た．(ii)多孔質媒質中の界面のモデルとして，1次元の土壌の水浸透現象を記述するBroadbridge-Whiteモデルを考察し，その時間・空間離散モデルを構築した．この方程式はホドグラフ変換で非線形境界条件の下でのBurgers方程式に帰着し，さらにCole-Hopf変換で線形拡散方程式の初期値境界値問題に変換される．ホドグラフ変換とCole-Hopf変換，および線形化を工夫してCrank-Nicholsonスキームをベースとして可積分性と高精度（2次精度）と数値安定性（無条件安定）を両立させた離散時間モデルを構築した．さらにこのモデルを拡張して植物による吸収を考慮したモデルを構築し，その離散モデルを定式化した．
|
