2016 Fiscal Year Research-status Report
逆問題解析による分数階微分方程式を用いた血糖値変化の数理モデル
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16K13774
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
磯 祐介 京都大学, 情報学研究科, 教授 (70203065)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
藤原 宏志 京都大学, 情報学研究科, 准教授 (00362583)
今井 仁司 同志社大学, 理工学部, 教授 (80203298)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 数値解析 / 数値計算 / 数理モデル化 / 分数階微分方程式 / 逆問題 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究は血中のブドウ糖濃度とインシュリンの関係について、insulin sesitivityという新たなパラメータを導入して両者の関係の数理モデル化を図るもので、分数階微分方程式を利用した研究協力者の先行研究をヒントに、信頼できる数理モデルの確立を図るとともに、分数階微分方程式の数値計算法の新たな数値計算法を提案することが研究目的である。研究目的と関連研究の現況を考慮し、初年度は非線型分数階微分方程式の数理解析を整理し、信頼性のある数値計算法を確立することを主眼としたが、この点では大きな成果が得られた。
分数階微分の定義は歴史的に見ても多様であるが、現象の数理モデル化への適用を念頭においた場合、Capto 型の分数階微分を微分方程式として利用することが合理的と考えている。この場合、目的とする分数階微分方程式は本質的には weak-singular 核をもつ非線型積分方程式と見做すことができるため、本課題研究の目的は weakly-singular 核を持つ Volterra 型非線型積分方程式の解析である。この種の方程式の数値計算については Diethelm 他による方法が提案され、一定の解析も行われているが、記法が煩雑な上に証明上の技術的な仮定があり、それが実用上の制約ともなっている。これに対して研究協力者の坂東孝政と共に Diethelm らの煩雑な議論を整理し、さらに証明上の技術的制約を本質的に緩和し、現実的な数値計算スキームを提案したことが平成２８年度の成果である。この研究成果は非線型分数階微分方程式の Cauchy 問題の高精度解法の構成を示唆するもで、平成２９年度以降の課題研究推進基盤ともなっている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
申請段階では非線形分数階方程式の初期値問題の数値解法についての Diethelm 他の先行研究の整理に相当の時間を要すると考え、本課題研究の最低限の到達点として新たな高精度数値計算法の確立を位置づけていた。しかし研究協力者の相当の協力により、数値計算法の確立については平成２８年度に目処がついたものと判断している。これによって申請時に最低限の到達点としていた成果は早々に達成される見通しとなった。さらに研究分担者2名の共同研究によってスペクトル法を利用したアプローチも行い、限られた事例ではあるが、新たな数値計算法も提案している。これらの成果によって、本課題研究は、数値解析面では予定を若干上回りつつも、全体としてはおおむね順調に推移していると判断した。
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| Strategy for Future Research Activity |
平成２８年度の数値計算上の成果をふまえ、平成２９年度には血糖値数理モデルの先行研究の検証と、その数値解析の信頼性を検証する。この数理モデルはパラメータ推定の逆問題を含むため、先ずは既知パラメータの場合の数値解析を平成２９年度に行い、逆問題解析は平成３０年度を中心に行うことを今後の方策としている。
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| Causes of Carryover |
次の三つの事情により、初年度予定経費の一部を次年度使用とした：
（１）課題研究遂行上必要な数値計算環境の整備が、他の研究経費で実施できたこと（２）招聘予定の外国の研究協力者が別経費で来日したが、その際に研究連絡を実施することで本科研費の支出に及ばなかったこと。（３）体調不良により、研究協力者が予定していた出張をキャンセルしたこと。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
上記（２）の外国人研究協力者は、研究連絡と共同研究を深化させるために平成２９年６月に招聘予定で、その際に繰り越した経費を使用する予定である。また前者（１）によって繰り越した経費に（３）を含めて本年度計画に加算し、当初計画を上回る計算機環境の整備を行い、課題研究の一層の推進を図る計画である。
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