2019 Fiscal Year Research-status Report
微分方程式に対する汎用的並列構造保存数値解法の基礎理論構築と数値的検証
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16K17550
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
宮武 勇登 大阪大学, サイバーメディアセンター, 准教授 (60757384)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 常微分方程式 / 偏微分方程式 / 数値解法 / 数値線形代数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
現代科学の多くの分野で，長時間スケール数値計算の需要が高まっている．そのためには，微分方程式の数理的/物理的性質（例えばエネルギー保存則）を活用した構造保存数値解法が適切だが，計算機パワーのハード面の成長に伴い，現場のニーズも多様化・大規模化している現在，精度と計算コストのギャップといった問題がこれまで以上に顕著化している．これらの問題に対して，現状では，各分野の専門性や経験によって解決案が研究されているが，本研究では，より数理的/分野横断的な立場から，汎用性の高い高速かつ高精度な並列構造保存数値解法を開発することを目的とする．
本年度はこの目的に対して，昨年度に引き続いて，主に，微分方程式を離散化した際にあらわれる線形方程式の性質やその解法に関して研究を行った．また，エネルギー保存則や散逸則に着目した研究だけでなく，splitting（分離型）解法と呼ばれるクラスの構造保存数値解法をDirichlet境界条件下の偏微分方程式に適用すると，精度の劣化が生じる（期待通りの精度が達成できない）可能性があることを指摘し，精度の劣化を回避する方法を提案した．この研究は現時点では空間一次元の問題に特化したものであるが，今後空間高次元問題への展開を見据えて，理論解析や実装方法などについても検討した．特に実装に関しては，線形方程式のみならず行列指数関数の計算もあらわれることから，効率よく計算ができるように様々な工夫を行った．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
昨年度と同様に時間並列解法の研究については理論上の困難があり進展が得られなかったが，高速化を狙うという立場からは線形方程式の数値解法について検討を進められたこと，また，エネルギー保存/散逸型以外の数値解法についても一定の研究成果を出せたことから，総合的にはおおむね順調に進展しているといえる．
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| Strategy for Future Research Activity |
これまで未達成である時間離散化手法に関して突破口をつかむべく挑戦しつつも，主としては，離散化後にあらわれる線形方程式の数値解法のさらなる改良と，様々な偏微分方程式と構造保存数値解法について幅広い検討することを軸に研究を推進していく予定である.
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| Causes of Carryover |
研究は順調に進展したが，細部で詳細な計算が必要になり，より完成度を高めて学会での講演や論文投稿を行いたいため．
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