Positivity in Arakelov Geometry

2019 Fiscal Year Final Research Report

• Project/Area Number: 16K17559
• Research Category: Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Research Field: Algebra
• Research Institution: Shitennoji University (2019); Kyoto University (2016-2018)
• Principal Investigator: Ikoma Hideaki 四天王寺大学, 教育学部, 講師 (90533638)
• Project Period (FY): 2016-04-01 – 2020-03-31
• Keywords: アラケロフ幾何学 / アデール因子 / 基底条件 / 数論的体積 / 代数幾何学 / ニュートン・オコンコフ凸体 / 代数多様体上の有理点

Outline of Final Research Achievements

In Arakelov geometry, we consider Cartier divisors endowed with adelic Green functions (i.e. adelic Cartier divisors) in order to define systematically the heights of algebraic points on an algebraic variety. Given such an adelic Cartier divisor, we can define the height of an algebraic point as the arithmetic intersection number of the adelic Cartier divisor and the algebraic point, which is similar to the usual intersection number defined for a Cartier divisor and a curve on an algebraic variety. The properties of such a height function are closely related to the positivity properties of the given adelic Cartier divisor. In this research, we introduce a new notion; a ``pair of an adelic Cartier divisor and a base condition''. We prove that the arithmetic volume function defined on the cone of big pairs is differentiable along the directions both of adelic Cartier divisors and of base conditions.

Free Research Field

代数幾何学

Academic Significance and Societal Importance of the Research Achievements

代数方程式系の有理数解の研究は、数学において最も長い歴史を分野の1つであり、大変難しいテーマの1つです。アラケロフ幾何学は、代数多様体上の有理点の構造を調べるため、このような点の高さをシステマティックに定義する方法を与えてくれます。このような高さ関数の性質を調べるには、考えているアデール因子の数論的体積を調べることが有効ですが、これは計算するのも極めて困難であることが知られています。本研究は、アデール因子の数論的体積の性質をより精緻に調べる手段を与えるため、基底条件の概念とそれに沿った数論的体積関数の微分可能性を確立しました。これらは今後、有理点の分布の問題などに応用されると期待されます。