2016 Fiscal Year Research-status Report
クラスパー理論を用いた有限型不変量とMilnor不変量の幾何的解釈の研究
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16K17586
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
小鳥居 祐香 東京大学, 大学院数理科学研究科, 特任研究員 (30737143)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 結び目理論 / ミルナー不変量 / ハンドル体絡み目 / クラスパー理論 / 有限型不変量 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
結び目理論において、link-homotopyとはambient isotopyと自己交差によって生成される絡み目上の同値関係である。本年度は、水澤篤彦氏との共同研究により以下の研究成果を得た。
ハンドル体絡み目に対してlink-homotopy類の概念を定式化し、HL-homotopyと名付けた。ハンドル体絡み目とは有限個のハンドル体の３次元球面への埋め込みである。２成分のハンドル体絡み目のHL-homotopy類については水澤と新國によって完全に分類されている。そのため、３成分以上のハンドル体絡み目に対する新しい結果を示した。
まず、絡み目の不変量であるミルナー不変量をハンドル体絡み目のHL-homotopy不変量として拡張した。ミルナー不変量とは、絡み数の拡張として有効絡み目に対して定義されるlink-homotopy不変量である。そして、この拡張した不変量を用いることで、一般成分のハンドル体絡み目に対して、それが自明なハンドル体絡み目とHL-homotopicであることと、そのハンドル体絡み目の全てのミルナー不変量の値が消えることが同値であることを示した。またこの不変量を用いて、任意の真部分ハンドル体絡み目が自明なハンドル体絡み目にHL-homotopicとなるハンドル体絡み目に対して、それら全体の集合とあるテンソル積空間の一般線形群の対角作用による剰余群との一対一対応を与えた。これにより、種数２以上の成分が２つ以下のハンドル体絡み目に対しては、単因子論により完全分類を与えた。
一方で、特に一般の３成分のハンドル体絡み目のHL-homotopy類について、まだ分類が出来ていないため、次の課題としたい。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
前年度までに取り組んでいた内容が今年度にずれ込んだため、
今年度予定の研究内容は部分的に進行したものの、当初予定していた形での成果を出すには至っていない。
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| Strategy for Future Research Activity |
今年度予定の研究内容について、これまでの準備を元に、来年度の内容の一部と併せて行う予定である。
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| Causes of Carryover |
次年度の海外出張に必要な費用が不足すると予測されたため、次年度予算と併せて使用するため．
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
海外出張に使用する予定である．
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