2016 Fiscal Year Research-status Report
ジャンクションを含む平均曲率流の弱解の構成と一意性の解析
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16K17622
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
高棹 圭介 東京大学, 大学院数理科学研究科, 特任研究員(上席) (50734472)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 平均曲率流 / 弱解 / フェイズフィールド法 / 幾何学的測度論 / 変分問題 / 特異極限問題 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
ジャンクション等の特異点を含む平均曲率流方程式の弱解は、金属の焼きなまし時における結晶粒界の運動、石鹸膜の挙動、結晶成長等と深く関係しており、平均曲率流方程式の弱解の解析は複雑な現象の解明につながる重要課題である上に、数学的にも興味深い問題である。本年度は以下の研究結果を得た。
(1)トリプルジャンクションを持つ平均曲率流方程式は境界条件付きの平均曲率流方程式と関連が深い。このことから、研究協力者の儀我美一氏、尾上文彦氏と、境界条件付きの平均曲率流方程式に関しての議論を行った。平均曲率流方程式の境界を持たない解はAllen-Cahn方程式の解の特異極限として構成できる(フェイズフィールド法)為、境界条件を課したAllen-Cahn方程式を考察し、適切な弱解の定義を得た。弱解の構成の為には、単調性公式と呼ばれる評価が重要であり、今後はこの評価の導出を行う。
(2)研究協力者の山崎教昭氏、鈴木友之氏と、平均曲率流方程式のフェイズフィールド法で用いられる制約条件付きAllen-Cahn方程式の数値計算に関する解の安定性に関して議論を行い、陽解法における数値計算が安定となる空間刻み幅と時間刻み幅の条件を得た。
(3)結晶成長等で考察される駆動力付きの平均曲率流方程式に関して、フェイズフィールド法による考察を行った。駆動力が時間パラメータのみに依存し、2乗可積分である場合において、特異極限解が修正可能集合のクラスであることをすべての空間次元に関して証明した(空間次元が2、3のときは既知)。また、曲面の多重度に関しては計算中であり、それが纏まり次第論文を準備する。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
必ずしも当初の研究計画に沿った方向に研究が進展しているわけではないものの、興味深い結果を得ることが出来ている。
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| Strategy for Future Research Activity |
境界条件付きの平均曲率流方程式は、ある種のトリプルジャンクションを持つ動的幾何問題と見做すことができる為、初年度に引き続きこの問題を中心に解析を行いたい。
また、国内外で開催される、当研究課題に関連する研究集会等に参加し、講演発表による研究成果の情報発信、及び情報収集を行いたい。
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| Causes of Carryover |
次年度使用額は小額であり、出張費等には使用できなかった事と、消耗品を買う予定が無かった為。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
次年度使用額は小額である為、文房具類の消耗品の購入に充てる。
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