2019 Fiscal Year Annual Research Report
Analysis on existence and uniqueness of weak solution for mean curvature flow including junction
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16K17622
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
高棹 圭介 京都大学, 理学研究科, 特定准教授 (50734472)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 平均曲率流 / フェイズフィールド法 / 幾何学的測度論 / 変分問題 / 特異極限問題 / バリフォールド / 動的境界条件 / 弱解 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
(1)研究協力者の儀我美一氏、尾上文彦氏とともに、動的境界条件、及びディリクレ境界条件付きの平均曲率流方程式について、フェイズフィールド法を用いて考察した。前年度まで得られた結果と、本年度得た内部評価により、動的境界条件付きAllen-Cahn方程式に対して、解の特異極限のディリクレエネルギーとポテンシャルエネルギーが領域の境界上で一致するとき、解の特異極限が動的境界条件付き平均曲率流方程式のBrakkeの意味での弱解になることを示した。
(2)結晶成長のモデル方程式として知られる外力項付き平均曲率流方程式について考察した。適切なソボレフ空間において、放物型スケール変換の意味で外力項が劣臨界となる場合の弱解の時間大域存在を得た。従来の方法では、正則性の低い外力項については解の存在証明に必要なエネルギー評価が得られていなかった。それに対し本研究では、適切な補正項をAllen-Cahn方程式に組み込むことにより、必要なエネルギー評価を得る手法を発見し、その困難を解決した。この証明方法は、他の方程式にも応用できると見込まれる。さらに本年度は、外力項付き平均曲率流方程式を用いて、平均曲率流方程式の障害物問題についても考察を行った。適切な外力項を与えたAllen-Cahn方程式の解について、障害物に相当する劣解、優解の構成を行った。今後はこれらを用いてBrakkeの意味での弱解の存在定理を示すことを目標にする。
(3)研究協力者の水野将司氏とともに、Epshteyn-Liu-Mizunoによって提唱された、金属結晶の焼きなましにおける粒界の運動方程式を考察した。この問題に対する単調性公式を発見することにより、古典解の勾配評価、存在定理、及び漸近挙動を示した。この結果は論文にまとめ現在投稿中である。
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