2016 Fiscal Year Research-status Report
非線形分散型波動方程式における共鳴相互作用の構造と解の挙動・特異性の研究
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16K17626
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
岸本 展 京都大学, 数理解析研究所, 講師 (90610072)
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2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 非線形分散型方程式 / 初期値問題 / 周期境界条件 / 共鳴相互作用 / 組合せ論 / 回転流体 / 非圧縮性ナヴィエ・ストークス方程式 / 分数階ラプラス作用素 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究は種々の非線形分散型方程式について，非線形項の共鳴相互作用の解析を通して解の性質を調べることを目的とする．平成28年度は主として下記の3つの成果があった．
１．回転の影響を受けた非圧縮性粘性流体の方程式であるナヴィエ・ストークス・コリオリ方程式について，これまでの研究で，周期境界条件を課した場合に現れる共鳴相互作用を組合せ論的なアプローチにより精密に評価することができていた．本年度は米田剛氏（東京大学）との共同研究により，これを非共鳴相互作用も含む方程式全体の解析に応用し，粘性散逸の効果が分数階ラプラス作用素という形で弱まった場合にも，速い回転の下での滑らかな時間大域解の存在を示すことに成功した．従来の流体方程式の解析手法に加え，回転による分散効果の評価のために分散型方程式の解析手法を取り入れた新しい研究として，今後の発展が期待される．
２．3次の非線形項を加えた時間発展シュレディンガー方程式は非線形分散型方程式の代表例であるが，それに高階の分散項や微分を含む非線形項を摂動として加えた方程式は，非線形光学や渦糸の運動など重要な物理的背景を持っている．これらの高次摂動を含む方程式から元の方程式への極限問題を研究し，解の収束について，初期値の滑らかさや収束の位相に関する自然な条件の下で証明することに成功した．周期境界条件下では共鳴相互作用が方程式の性質を大きく変える可能性があることが指摘されており，今後研究を進める手掛かりとなることが期待される．
３．周期境界条件を課した非線形シュレディンガー方程式の解の一意性について，これまでの研究で構築した枠組みが分散項を分数階ラプラス作用素に一般化した場合（共鳴関係が周波数の多項式として表せない）にも有効であることを示し，初期値の滑らかさに対する自然な仮定の下で無条件一意性の結果を得た．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本年度は，平成30年度に予定していた回転流体の方程式の研究について，早くもその第一歩となる成果を得ることができ，既に流体方程式の研究をテーマとする国内の研究集会等で招待講演を数件行っている．一方で，平成28年度の研究として当初計画していた修正ベンジャミン・オノ方程式のエネルギー空間での無条件一意性や極限問題については，より非線形項の微分損失の影響が小さい，高次摂動を含む非線形シュレディンガー方程式の段階でとどまっており，今後の課題としたい．
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| Strategy for Future Research Activity |
交付申請書に記載した問題はいずれも解決すべき重要なものであり，今後もそれらに取り組む計画で，研究計画の大幅な変更はない．記載した以外の問題では，周期境界条件下に特有の共鳴相互作用による放物型方程式と類似した平滑化現象または特異性生成（初期値問題の非適切性）について，関連する重要な問題として興味を持っている．また，乱流現象に対する分散性流体モデルを足掛かりとした数学的なアプローチの可能性についても研究を進める計画である．
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| Causes of Carryover |
交付申請後に次年度の国際研究集会開催が決定し，研究者招へい旅費として次年度の所要見込額が増加したため，助成金の一部を次年度へ繰り越した．
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
国際研究集会への研究者招へい旅費として活用する．
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