2017 Fiscal Year Research-status Report
多重視点の証明解析による逆数学の汎用化・深化とその応用
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16K17640
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| Research Institution | Japan Advanced Institute of Science and Technology |
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Principal Investigator |
横山 啓太 北陸先端科学技術大学院大学, 先端科学技術研究科, 助教 (10534430)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 逆数学 / 証明論 / 証明の長さ / 組み合わせ命題 / ラムゼイの定理 / Ekelandの定理 / クリプキモデル / 指標関数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
平成29年度は前年度から継続して研究しているKolodziejczyk博士(ワルシャワ大学)、Wong博士(シンガポール国立大学)らとの共同で算術における証明のサイズ・長さと公理系の関係についての分析を幅広く進めた。特に組み合わせ命題がどのような条件で証明を短縮できるかについて細かく調べ、ラムゼイの定理の場合について証明の長さを短縮する例・しない例についての具体的な結果を得るとともに一般の場合についての予想を得た。この研究中で、指標関数と呼ばれる1970年代に提案された算術の超準モデルの分析手法を現代的に整備し直し、多くの新しい研究に適用できる形に手法を一般化した。また、国内の4人の研究者との共同で算術における論理公理の分離問題をクリプキモデルと超準モデルの手法を組み合わせて一般的に解く手法の構築を進めた。さらに完備距離空間上の最適化問題に関するEkelendの定理やCaristiの不動点定理の逆数学的強さの分析等の研究を進展させ、Ekelandの定理がいわゆる可述的と呼ばれるレベルの公理系を超える強い公理と同値になること等の結果を得た。いずれについても、現在主要な成果について論文にまとめる作業を進めており、投稿に向けて準備中である。
また前年度大きく発展した諸種の組み合わせ論の強さの逆数学手法による分析成果をまとめ、特にラムゼイの定理に関する証明論的強さを確定させた主要な2本の論文が受理されるとともにそれらを計算機科学分野の定理に応用した論文についても受理された。関連論文の執筆も引き続き進めている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本年度は、前年度から継続して研究している内容を中心に得られた成果のまとめや論文に多くの時間を割いた。結果として主要論文が複数受理され、新たに複数の論文を投稿するなど論文発表の形で多くの成果の公表を進めることができた。特にラムゼイの定理の証明論的強さの論文についてはハイレベルな論文誌として知られるAdvances in Mathematicsに受理された。同時に次なる研究課題の萌芽を得たり、新たな共同研究を開始することもできており、中間年度として研究全体としては順調に進展していると言える。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後の研究では、今年度新たに得られた証明のサイズや長さを分析する手法をより一般化して色々なテーマに応用していくことが重要な課題の一つと考えている。また、研究の過程で計算機科学分野とのつながりも色々と見つかっており、今後は計算機科学への応用も増やして行ければ良いと考えている。一方、多くの国内外の研究者と共同研究を行う中で細かい結果が多数得られており、これらを整理して論文として発表する作業を進めていかなければならない。最終年度はこれらをバランス良く進めていきたい。
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| Causes of Carryover |
研究用のパソコンの購入が不要になった一方、30年度に招待された研究集会の旅費の一部を負担するため等に当初より予算が必要となったため、一部予算を繰り越した。
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Research Products
(15 results)
