2016 Fiscal Year Research-status Report
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16K17646
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| Research Institution | Senshu University |
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Principal Investigator |
土屋 翔一 専修大学, ネットワーク情報学部, 講師 (10647564)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | Halin graph / plane graph / HIST |
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| Outline of Annual Research Achievements |
1975年にLovaszと Plummerによって「任意の4-連結平面三角形分割は全域Halin graphを持つ．」という予想がたてられた．ところが，この予想は代表者を含む研究グループによって，2015年に否定的に解決された．本研究では，全域Halin graphを持つための非自明な条件を得ること軸にHalin graphに関連する諸問題の研究を進めている．
平成28年度は「5-連結平面三角形分割は全域Halin graphを持つか．」という問題の解決を試みた結果，全域Halin graphを持たない5-連結平面三角形分割の無限系列が存在することが判明した．得られた成果は学術論文としてまとめ，現在投稿中である．平面三角形分割において全域Halin graphの存在性を保証する定理は得られなかったが，この性質についてオブストラクションとなる構造がいくつか発見できた．これにより，全域Halin graphの存在性を議論する際に成立しない命題を除外する作業を円滑に進めることができるため，残りの期間の研究を効率よく遂行することが可能となった．
6-連結平面グラフは存在しないため，平面三角形分割についてこれ以上強い連結度を仮定することに意味はない．したがって，平面三角形分割について全域Halin graphの存在性を保証するためには，連結度以外の条件が必要となる．上記の成果で発見できたオブストラクションは，いずれも，各連結成分の頂点数が十分大きくなる切断点集合を持つことがわかっている．したがって，essentially connectivityなどの条件をつけくわえることで，与えられた平面三角形分割に全域Halin graphの存在を保証する定理が得られる可能性が高いと考えている．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当初の予定通り，5-連結平面三角形分割における全域Halin graphの存在性について新たな知見が得られた．この成果は，平成29年度以降の研究遂行によい影響を与えるため，計画は概ね順調に進んでいると考えられる．また，fullerene graphやwheel minorなど計画当初は考慮していなかった研究対象についての調査を実施し，それらの研究成果がHalin graphの研究と相互に影響を及ぼしあうことがわかった．
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| Strategy for Future Research Activity |
平面三角形分割の場合，連結度のみで全域Halin graphの存在を保証することはできないことが判明した．今後は，連結度以外の条件で平面三角形分割に全域Halin graphの存在性を保証できるかを検討していく．また，計画書に記載した通り，禁止部分グラフを用いて全域Halin graphの存在を保証できないかを調べていく予定である．
一方，homeomorphically irreducible spanning tree (HIST)やfullerene graph，wheel minorなどHalin graphの研究と相互に影響を及ぼしあう研究対象の調査や研究も継続していく．
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[Presentation] On fullerene graphs2017
Author(s)
S. Tsuchiya
Organizer
2017 Joint Mathematics Meetings
Place of Presentation
Hyatt Regency Atlanta and Marriott Atlanta Marquis (アメリカ)
Year and Date
2017-01-04 – 2017-01-07
Int'l Joint Research / Invited
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