2017 Fiscal Year Research-status Report
正規言語の所属問題への副有限モノイドと擬ガロア圏の構造論の応用
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16K21115
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
浦本 武雄 東北大学, 情報科学研究科, 学術研究員 (40759726)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | semigalois圏 / 類体論 / オートマトン / Witt vector |
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| Outline of Annual Research Achievements |
semigalois圏の例が古典類体論との関係で見つかり、それを元に、オートマトン理論で知られていたChristolの定理の数論的類似を証明した。
Christolの定理とは「有限体上の形式的べき級数が多項式環上で代数的であるための必要十分条件は、その係数が有限オートマトンで生成されることである」と主張する定理。今回示した定理はこの定理の数論的類似で、多項式環を数体の整数環で置き換え、形式的べき級数環を(generalized) Witt vectorの環で置き換えたものを主張する。つまり（ざっくりいうと）、「Witt vectorが整数環上で整であるための必要十分条件は、その(ghost) componentが有限オートマトンで生成されることである」と主張する。またその様な条件を満たすWitt vectorをautomaticと呼ぶことにすると、(大まかにいうと)automatic Witt vectorが生成する環の圏はsemigalois圏となり、その基本モノイドはDeligne-Ribetモノイドと呼ばれるものになる。後者はBorgerらが古典類体論との関連で研究していたものであり、これにより、古典類体論と有限オートマトン理論（のsemigalois圏を通した定式化）との関連が明らかになった。本研究はJounal of Algebraに受理された。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
東北大学の岩成勇先生に関連論文を紹介していただいたことが、今回の進展を得る上で大きかった。Christolの定理自体は前から知っており、何か関連するのではないかと感じていたが、今回の研究でその正当化が得られた。今回の結果は特に、その後の研究の方向性を探るためにも大変重要であった。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後の研究では、さらに幾何的な例を構成することを目指す。数体だけでなくリーマン面などからもsemigalois圏を構成できるのではないかと（漠然と）考えている。その方向性も視野に入れつつ、ラングランズ・プログラムで知られている結果をサーベイすることから始める。ラングランズ・プログラムは、（イデール論的な）類体論の非可換拡張を目指すプログラムだが、今回の自身の結果は、(semigalois圏の枠組み自体は一般論を構築できているので)、古典的な（イデアル論的な）類体論の非可換拡張の方向性を示唆している様に見える。今回得た結果は、ある意味で「数論的線形差分方程式」の代数的解の生成する環の圏がsemigalois圏となり古典類体論と関連することを示すもので、どことなくD加群に基づく幾何的ラングランズ・プログラムに似ている。この（漠然とした）類似を辿ることを目指したい。
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| Causes of Carryover |
書籍の購入費が予定より少なくて済んだ。また出張費も現所属でのプロジェクト予算から支出されたことで、予定より少なく抑えられた。
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