2016 Fiscal Year Research-status Report
量子系における動的推定器の性能解析と近似理論の構成
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16K21127
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
大木 健太郎 京都大学, 情報学研究科, 助教 (40639233)
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2016-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 量子スムージング / 量子フィルタリング / 近似フィルタ |
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| Outline of Annual Research Achievements |
量子スムージング理論を整理し，理論的に扱える範囲を，例を通して検証し，京都大学の数理解析研究所の公開する講究録で発表した．その結果，非有界作用素の推定問題において，フィルタリング理論のときには見られなかった作用素の定義域の問題が現れ，有界作用素の理論を素朴に非有界作用素にあてはめることが難しいことが分かった．また，古典の場合とは異なり，量子スムーザにおける確率分布の量子版に対応するものは自然には現れず，最小二乗近似における古典論と量子論の顕著な違いが判明した．これにより，フォンノイマン相互情報量などの２つの密度作用素によって定義される情報量を，素朴には適用できないことが判明した．これは，古典論における相互情報量と推定誤差の関係が，素朴には量子系に拡張できないことを意味している．
また，近似フィルタの構築に関して研究を進めている中で，特定の問題設定に限ると近似なしでも有限次元のスムーザが構築できることがわかった．一般の場合，対象系が有限次元であったとしても，推定器は無限次元になってしまうため，スムーザを計算機上で近似するだけを考えるのは難しい．そこで，無限次元になる推定値を，量子コンピュータなどの物理プロセスとして表現可能かどうかを検討することにし，そのための第一歩として，まずはレプリカ交換法によって量子コンピュータで用いられるシミュレーテッドアニーリングの収束速度の改善を議論し，ポスター発表した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
当初，初年度は推定誤差と相互情報量の関係について調べ，量子フィルタおよび量子スムーザに対する近似の実装について行う予定であった．しかし，（１）量子系の相互情報量であるフォンノイマン相互情報量は，２つの量子状態を測るには特異的になること，および（２）量子スムーザから計算される作用素が一般には密度作用素にならず，確率分布間の距離を測る相互情報量の利用に意味がないことが判明し，この方面の打開策が必要となった．
また，近似フィルタ・スムーザの構成についても，素朴に無限次元を有限次元で打ち切ると，時間が経つにつれ誤差が拡大してしまい，推定器として意味をなさなくなる．許容できる範囲での誤差を有する近似については，先行研究の調査および使える数理的テクニックの整理を必要とした．
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| Strategy for Future Research Activity |
進捗状況の（１）で述べたように，フォンノイマン相互情報量は一般論を扱うには不向きであるので，Renyi エントロピーの量子版による Renyi 相互情報量を用いて議論を進める．また，進捗報告の（２）で述べたように，古典系で表現するために最小二乗誤差推定器として導出した量子スムーザは，一般には密度作用素によって表現することができない．相互情報量を考慮するには，密度作用素に限定した推定器を作成すればよいため，この場合の推定誤差と量子情報量との関係を議論する．この最適な密度作用素は，量子スムーザで得られた作用素を用いて，二次計画問題で解けることを明らかにした（投稿準備中）ので，この量を用いて量子相互情報量との関係を見いだせるかどうかを検討する．
また，近似フィルタ・スムーザの構成に関しては，概要で述べた物理プロセスを用いた計算法の他，通常の計算機上でも実装できるための近似理論について調査を進め，計算量を考慮しながら研究を進めていく．
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| Causes of Carryover |
当初の予定では国際会議発表および論文掲載のために旅費およびその他の費用を計上した．しかし，論文は掲載料のかからない数理解析研究所の講究録にまとめたためと，他の研究成果がネガティブな結果が多く，年度をまたがなければ発表が難しかったためである．
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
年度をまたいでしまった研究成果を，次年度分として用いる．また，研究をより進めるために，国内の研究者との打ち合わせを増やすため，当初の計画より上回る費用分を賄うために用いる．
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