2017 Fiscal Year Research-status Report
ハングリー型離散・超離散可積分系の固有値問題への応用
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16K21368
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| Research Institution | Shibaura Institute of Technology |
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Principal Investigator |
福田 亜希子 芝浦工業大学, システム理工学部, 准教授 (70609297)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | Max-Plus代数 / 超離散化 / トロピカル代数 / 可積分系 / 固有値 / Min-Plus代数 / 超離散戸田方程式 / 有向グラフ |
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| Outline of Annual Research Achievements |
連続時間および離散時間可積分系がもつ著しい性質に由来する固有値計算等の優れた数値計算アルゴリズム：「可積分アルゴリズム」がこれまでに数多く報告されている。本研究では，超離散可積分系の数理構造に着目した新たな固有値計算アルゴリズムの導出を試みた。
qd法の漸化式は離散戸田方程式と一致することが知られており，それを超離散化することで箱玉系の運動方程式に対応する超離散戸田方程式が得られる。本研究ではまず，超離散戸田方程式に関連するMin-Plus代数上の３重対角行列に着目し，トロピカル行列式を用いたMin-Plus代数上の固有多項式の根と超離散戸田方程式の変数との対応を明らかにした。また，３重対角行列を隣接行列とする重み付き有向グラフにおける平均閉路重みと固有多項式の根の関係についても明らかにした。さらに，超離散戸田方程式の解の挙動を調べることで，超離散戸田方程式の時間発展が，Min-Plus代数上の３重対角行列の固有値を計算していることが明らかとなった。このことは，グラフの観点からは，有向グラフにおける最小平均閉路重みを求めていることに対応する。
一方，超離散ロトカ・ボルテラ系に対応するMin-Plus代数上の固有値計算アルゴリズムについても検討し，対称な３重対角行列を対象とする固有値計算アルゴリズムが得られた。付随して，超離散戸田方程式，超離散qd型ロトカ・ボルテラ系，超離散ロトカ・ボルテラ系を結ぶ変数変換が得られ，超離散qd型ロトカ・ボルテラ系が，従来知られていた箱玉系のラグランジュ表現に対する別表現を与えることを示した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
2017年度に計画していた研究は2016年度に一部前倒して実施したため，2017年度は2018年度に計画していた研究を一部前倒して実施したが，研究実績の概要に記載した通り，当初計画していた成果が得られているため，おおむね順調に進展していると判断する。現在，得られた成果に関する論文1編を投稿中である。
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| Strategy for Future Research Activity |
上記の「研究実績の概要」の成果について，現在投稿中の1編に加えて，もう1編の論文の執筆を予定している。また，上記の成果は最も単純な場合を扱っているので，それぞれの拡張（ハングリー版）を検討することで，より汎用的なアルゴリズムとなることが期待される。
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| Causes of Carryover |
研究成果発表のための海外出張（SIAM ALA2018@香港，他１件）および国内での学会のための旅費・参加費などに使用する予定である。
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Research Products
(6 results)
