2005 Fiscal Year Annual Research Report

モジュライ空間の大域的構成

Research Project

Project/Area Number	17340018
Research Institution	Kyushu University
Principal Investigator	長友康行九州大学, 大学院・数理研究院, 助教授 (10266075)
Co-Investigator(Kenkyū-buntansha)	山田光太郎九州大学, 大学院・数理研究院, 教授 (10221657) 伊藤光弘筑波大学, 数理物質科学研究科, 教授 (40015912) 大仁田義裕大阪市立大学, 理学研究科, 教授 (90183764) 田崎博之筑波大学, 数理物質科学研究科, 助教授 (30179684) 高山茂晴東京大学, 数理科学研究科, 助教授 (20284333)
Keywords	ASD接続 / ベクトル束 / モジュライ空間 / 四元数多様体 / リー群 / ツイスター空間 / コホモロジー / 消滅定理
Research Abstract	今年度は「モジュライ空間の大域的構成」にとって不可欠となるモジュライ空間のコンパクト化に焦点をあて、この際に特異点集合として現れる部分多様体に注目した。高次元ASD方程式の線形化方程式であるツイスター切断の零点集合として得られる部分多様体がそれである。これに加えて、ツイスター切断のノルムの2乗として得られる関数がBottの意味でのモース関数になることを示し、ツイスター切断が底空間のトポロジーと深く関連していることも理解できた。さらに、「モジュライ空間の大域的構成」にとって重要な概念であるツイスター切断を使用した実グラスマン多様体への埋め込みを構成し、かつこの埋め込みが極小埋め込みであることを示すことができた。底空間が複素ケーラー多様体であるときには、この埋め込みはいわゆる「小平埋め込み」と同一視され、複素ケーラー多様体の複素部分多様体が自動的に極小部分多様体であることから、この場合の「四元数版」定理が得られたものと理解できる。また、この埋め込みが重要である理由は、ASD接続のモジュライ空間を構成する方法であるADHM構成法において、この埋め込みによる標準ベクトル束と標準接続の引き戻しが利用されるとみなすことができるからである。つまりわれわれが創始しようとしている理論の具体的な第一歩が得られたと理解できる。ここまでの結果は現在論文として完成しており、投稿中である。もちろん、この構成のさらなる一般化が望まれるところであるので、このテーマに関してはひきつづき考察したい。また、「モジュライ空間の大域的構成」の具体例の創出においても成果を挙げることに成功した。再び複素ケーラー多様体の「小平埋め込み」との対比をする。この場合「小平消滅定理」がその証明において重要な役割を果たすわけであるが、われわれの場合にも四元数ケーラー多様体上のASDベクトル束に対する消滅定理を得ることができた。この消滅定理は以前得られていた消滅定理をさらに前進させたものということができる。なぜならば、この消滅定理を利用することによって、実グラスマン多様体上のASDベクトル束のモジュライ空間の記述がさらに容易になったからである。この結果に関しては日本数学会において発表済みだが、さらに現在論文を準備中である。このモジュライ空間のコンパクト化に関しては、従来のものとは若干異なる現象がみられるので、こちらに関しても研究を続行中である。また、この実グラスマン多様体には別種のASDベクトル束が存在すると思われるので、こちらも研究したいと思っている。最後に四元数ケーラー多様体ではない対称空間、等質空間にまで上記結果を拡張する方法を発見したので、この方面の研究もさらに進める予定でいる。