概エルミート多様体の幾何学

2006 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 17540068
• Research Institution: Kanazawa University
• Principal Investigator: 佐藤 卓治 金沢大学, 自然科学研究科, 教授 (30019781)
• Keywords: 概エルミート多様体 / 概ケーラー多様体 / ケーラー構造 / 正則断面曲率 / 接バンドル

Research Abstract

前年度に引き続き,情報幾何に現れる統計モデルの多様体の一般化である統計多様体の接バンドル上に導入される概ケーラー構造について,その微分幾何学的性質を調べた.統計モデルの多様体の場合得られた結果の一般化として,次のような結果が得られた.
1.Poincare計量をもつn次元半空間上に導入されるα接続によって定義される接バンドルの概ケーラー構造がケーラー構造になるのは,α=±1の時に限り,α=-1のときは接バンドルのケーラー構造は正則断面曲率が一定であること.(これは正規モデルの場合の一般化に相当する.)
2.n次元球面(半径c)の正部分上に導入されるα接続によって定義される接バンドルの概ケーラー構造がケーラー構造になるのは,α=±c^2の時に限り,α=c^2のときは接バンドルのケーラー構造は正則断面曲率が一定であること.(これは離散分布族のモデルの場合の一般化に相当する.)
3.上記2.の結果はn次元双曲空間の場合でも同様に成立すること.
以上を示すために志磨裕彦氏によるHesse多様体のHesse断面曲率一定という概念が重要な役割を果たしていることが判明した.これらの結果は情報幾何と概エルミート幾何学をつなぐ新しい知見として注目され,情報幾何学的意味づけが解明されることが望まれる.
なお,余接バンドルの場合は上記の結果はそのままでは成立しないことが分かり,計量を代えてみるなど種々の試みを模索中である.