2005 Fiscal Year Annual Research Report
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17540075
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Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
長崎 生光 大阪大学, 大学院・理学研究科, 講師 (50198305)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
原 靖浩 大阪大学, 大学院・理学研究科, 助手 (10294141)
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| Keywords | 変換群 / Borsuk-Ulamの定理 / 写像度 / 同変写像 / 等変写像 / 同変指数 |
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| Research Abstract |
本年度は、Borsuk-Ulamの定理の一般化の問題を、変換群論的観点から、同変写像あるいは等変(アイソバリアント)写像の「存在・非存在」および「写像度」についての問題と定式化し、Borsuk-Ulamの定理の一般化について研究した。
原は、直交群が標準的かつ自由に作用するStiefel多樹本の間の同変写像を研究した。その際、新たにトランスファー指数を同変コホモロジー群に定義することで、従来のコホモロジー指数よりも優れた不変量を得ることができた。次に、Stiefel多様体の軌道空間、つまり、Grassmann多様体のコホモロジーから、トランスファー指数の具体的計算を行った。その結果、トランスファー指数と写像度の関係を明らかにすることに成功し、写像度の値が非零であることを証明した。このことから古典的なBorsuk-Ulamの定理の一般化であるBorsuk-Ulam型定理を得た。
長崎は、擬自由円周作用をもつ球面の間の等変写像について研究することで、等変型のBorsuk-Ulam型定理にアプローチした。まず、等変写像の存在性の条件から、表現論を用いて、球面の次元についての不等式を証明することに成功した。この結果は、古典的なBorsuk-Ulamの定理の一般化の一つであり、等変型のBorsuk-Ulam型定理とも解釈される。次に、この結果の逆問題を研究した。その際、等変写像の存在性を示すために、同変障害理論を適用し、同変障害類を解析した。その結果、同変障害類の計算を写像度の計算に帰着させること成功した。このことを応用し、球面の次元の不等式が満たされている状況では、同変障害類が消滅していることを示すことができた。このことから、擬自由円周作用の場合には、等変型のBorsuk-Ulam型定理の逆も成立することが判明した。
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Research Products
(3 results)
