2005 Fiscal Year Annual Research Report
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17540076
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| Research Institution | Kobe University |
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Principal Investigator |
佐々木 武 神戸大学, 理学部, 教授 (00022682)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
W.F. Rossman 神戸大学, 理学部, 助教授 (50284485)
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| Keywords | リー極小曲面 / 曲面の変換 / リー二次曲面 / 射影極小曲面 |
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| Research Abstract |
3次元射影空間の曲面は、各点毎に共役座標曲線の接線の組を対応させると直線全体の作る5次元射影空間内のある2次超曲面内に閉じた直線族と考える事ができる。その符号数は(3,3)である。一方、リー球面幾何における曲面は、符号数が(4,2)である、2次元直線族と考えられる事が知られている。符号数の違いにより、違った空間の曲面の記述が可能であると言っている。複素化するとリー環は同じであるから、実の幾何学である。
この研究は、射影極小曲面とリー極小曲面という起源は全く異なる対象の変換理論をパラレルに進める事ができる(のではないかという)ことを示そうとするものである。
すでに知られている事は、射影極小曲面を3次元射影空間の中での変換の方法である。それらは、2変数4階の微分方程式系を用いて、射影極小という非線形方程式の変換理論としてかかれる。Marcus(1980),Rogers and Schief(2002)による方法である。幾何的描像はMarcusの方法が優れている。
この方法を我々の目的に合うように、書き直したことが第1の結果である。この結果、アファイン球面の変換として知られているTzitzeica変換が自然に含まれている事がわかる。
第2の結果は、3次元射影空間内の曲面を上記の2次超曲面のなかの2次元直線族として表すPfaff系を定め、逆に、Pfaff系にある幾何的条件を仮定すると、射影空間内の曲面になるということを、射影極小曲面について示した。この特徴付は、リー極小曲面についても、同じように実行できる。この計算は、研究発表欄の現在校正中の論文に載せている。この論文は研究計画書に書いた、Line Congruences and Laplace transformationsを上記の計算を加えて加筆補充したものである。
一方、射影極小曲面の変換は線叢として捉えることができるが、リー極小曲面についての変換を球面叢として捉える記述はまだ得ていない。
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Research Products
(1 results)
