2006 Fiscal Year Annual Research Report
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17540076
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| Research Institution | Kobe University |
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Principal Investigator |
佐々木 武 神戸大学, 理学部, 教授 (00022682)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
ROSSMAN W.F 神戸大学, 理学部, 助教授 (50284485)
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| Keywords | 射影極小曲面 / リー極小曲面 / 曲面の変換 / 超幾何微分方程式 |
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| Research Abstract |
3次元射影空間の曲面は、各点毎に共役座標曲線の接線の組を対応させると直線全体の作る5次元射影空間内のリー2次曲面と呼ばれる2次超曲面内に含まれる2次元パラメータを持つ直線族が得られる。リー2次曲面の符号数は(3,3)である。一方、リー球面幾何における曲面にも、2次元の直線族を対応させ、符号数が(4,2)の2次曲面に含まれることが知られている。符号数の違いにより、違った空間の曲面が扱われることになる。これは、2次曲面を記述するリー群を複素化するとリー環は同型であることから、実の幾何学の相違を表している。
この研究は、射影極小曲面とリー極小曲面という起源は全く異なる対象の変換理論をパラレルに進める事ができる(のではないかという)ことを示そうとするものである。
射影極小曲面は定義に従えば、2変数6階の微分方程式系で記述される曲面であるが、幾何的には単純な構造を持ち、Marcus (1980), Rogers and Schief (2002)による曲面の変換を許容する方法が知られている。この方法を我々の目的に合うように、射影曲面論全体の枠組を整理した後、書き直すことを行なった。その結果、アファイン球面についてのTzitzeica変換もみやすいものとなった。
次に、3次元射影空間内の曲面を上記の2次超曲面のなかの2次元直線族として表すPfaff系を定め、逆に、Pfaff系にある幾何的条件を仮定すると、射影空間内の射影極小曲面になることを示した。この特徴付は、リー極小曲面についても、パラレルに実行できる。
今後の課題として、射影極小曲面の変換を線叢の変換として理解することが主要な問題として残っている。リー極小曲面については球面叢の変換として捉えることになると思われるが、これも今後の課題である。また、共同研究者とのDPW法を線叢に対して適用することも、未解決である。
以上の成果と課題に加えて、Fricke曲面の微分幾何構造を研究協力者と調べるうちに、等積構造を持つ曲面の問題に出会い、その分類をおこなった。また、3次元双曲空間内の平坦曲面の特異点について、研究協力者とともに超幾何微分方程式の解を用いて得られる写像について詳細に調べ、同じ曲面を別の立場から研究している共同研究者と有意義な交流が出来た。
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Research Products
(3 results)
