2005 Fiscal Year Annual Research Report
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17540089
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| Research Institution | Tokyo Metropolitan University |
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Principal Investigator |
今井 淳 首都大学東京, 都市教養学部理工学系, 助教授 (70221132)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
赤穂 まなぶ 首都大学東京, 都市環境学部, 助手 (30332935)
大仁田 義裕 大阪市立大学, 理学研究科, 教授 (90183764)
岡 睦雄 東京理科大学, 理学部, 教授 (40011697)
神島 芳宣 首都大学東京, 都市環境学部, 教授 (10125304)
GUEST Martin 首都大学東京, 都市環境学部, 教授 (10295470)
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| Keywords | トポロジー / 結び目理論 / エネルギー / 共形幾何学 |
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| Research Abstract |
(i)曲線、曲面の共形幾何学。
n次元球面の中の曲線があると、その2次の配置空間上に無限小非調和比と呼ばれる、複素値2次形式を定義することが出来る。これは、曲線上のx, x+dx, y, y+dyの四点を通る2次元球面を、立体射影を通じて複素球面と同一視して、その四点の非調和比をとることにより得られる。定義より、無限小非調和比はメビウス変換で不変である。このこの実部と虚部の新しい意味づけを得た。
n次元球面をn+2次元のミンコフスキー空間の中に実現する。n次元球面のなかのp次元の球面のなす空間S(n, p)をプリュッカー座標を用いて構成すると、不定値な計量を持つ空間になる。n次元球面の中の曲線の2次の配置空間は、S(n,0)の曲面とみなす事が出来る。無限小非調和比の実部は、この曲面の面積要素の絶対値と一致する。
一方、n次元球面を(n+1)次元の双曲空間の(無限遠の)境界とみなす。n次元球面の中の曲線上の点xと点yを結ぶ(n+1)次元の双曲空間の測地線1上の一点をとり、1に直交する超平面Pをとる。曲線上の点xの近傍の点x'と点yの近傍の点y'を結ぶ(n+1)次元の双曲空間の測地線とPの交点を考えることにより、P内に曲面ができる。(x, y)における無限小非調和比の虚部は、この曲面の面積要素と等しい。
また、S (n,p)に、共形不変な計量とそれに付随する測度を定義し、それを用いて、結び目や絡み目、曲面の共形不変な汎関数を定義した。
(ii)平面リンケージのトポロジー。
端点が円周上の等間隔の点に固定されていて、中点がその回りを回転することが可能な関節となっていて、長さが同じn本の腕を持ち、平面内を動くことができるロボットを考える。その配置空間の位相型を、トポロジカルな方法と、モース理論を用いた方法で決定した。
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