関数解析的手法による微分方程式の解の存在とその性質についての研究

2005 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 17540149
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• Research Institution: Yokohama National University
• Principal Investigator: 塩路 直樹 横浜国立大学, 大学院・環境情報研究院, 助教授 (50215943)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 平野 載倫 横浜国立大学, 大学院・環境情報研究院, 教授 (80134815) ; 玉野 研一 横浜国立大学, 大学院・工学研究院, 教授 (90171892)
• Keywords: 変分法 / 楕円型方程式 / ノイマン問題 / 多重解 / 符号変化解

Research Abstract

次のNeumann問題に対して、解の多重存在についての結果を得た。
(1) {-Δu+λu=|u|^<2^*-2>u+f inΩ,(∂u)/(∂ν)=0 on∂Ω
ただし、ΩをR^N(N【greater than or equal】5)の有界領域で、その境界∂ΩはC^2の意味で滑らかとし、λ>0とする。2^*=2N/(N-2)である。|f|_<2^*/(2^*-1)が十分小さい任意のf∈L^<N/2>(Ω)に対し、問題(1)は少なくとも4つの解を持ち、少なくともそのうちの1つはsign-changingであることを示した。
この定理とほとんど同じ結果がTarantello[Manus.Math.81]によって報告されている。しかし、その証明において、sign-changingな解を求める際に、一般的には成立しないu→∫_Ω|▽u^+|^2dx:H^1(Ω)→Rの微分可能性が使われているという難点がある。この論文では、u→∫_Ω|▽u^+|^2dxの微分可能性を使わなくても、上記の結果が成り立つことを示した。汎関数I:H^1(Ω)→Rを、
Iu=1/2∫_Ω(|∇u|^2+λ|u|^2)dx-1/2^*∫_Ω|u|^<2^*>dx-∫_Ωfudx,u∈H^1(Ω)
と定め、∧^-={u∈H^1(Ω):<I'(u),u>=0,<I"(u)u,u><0},∧^-_*={u∈H^1(Ω):u^+,u^-∈∧^-}と置く。このとき、Iu=infI(∧^-_*)を達成する元u∈∧^-_*が存在することを示した。しかし、∧^-の場合と違って∧^-_*はC^1-多様体ではないので、このuがIの臨界点であることはきちんと示す必要があるが、それを解決した。