| Research Abstract |
本研究の目的は場の非線型性によって摂動を受けた波動関数の漸近挙動を解析し,その構造を明らかにする事である.場の非線型性が強すぎると,波動関数は有限時間のうちに発散してしまう事が知られている.逆に,非線型性の影響が弱い場合には,時間大域的に波動関数が存在し,その長時間挙動は摂動を全く受けていない波動関数にエネルギー・ノルムの意味で漸近する.
本研究では,これらの中間的な場合,即ち,時間大域的に波動関数が存在するにも拘らず,時刻無限大において摂動を全く受けていない波動関数に漸近しないような場合に注目した.この様な現象を生み出す長距離型の非線型摂動を扱うには,まず,時刻無限大において斉次線型方程式の解に漸近しないような時間大域解を持つ非線型方程式を探し,次に,その非線型方程式の解の漸近挙動が一般に斉次線型方程式の解とは本質的に異なることを示す事が課題となる.この問題について,我々は幾つかの自明ではない具体例を見つける事に成功した.その様な非線型方程式の解の漸近挙動は,斉次線型方程式の解の漸近挙動と比較して,性質が悪い場合と良い場合に大別される.その違いは,非線型項の次数やその係数から決定されるある量の符号によって決定される.
前者の場合には,非線型方程式に斉次線型方程式の解を代入して得られる非斉次線型方程式の解がもとの解の挙動を特徴付ける事が分かった.一方,後者の場合の扱いはより難しく,その挙動は放射場の概念と強く結びついており,解の挙動を支配する方程式自体,二階の波動方程式から一階の常微分方程式へと
大きく変化するのである.我々は,都合の良い常微分方程式の解を発見的に構成し,もとの解の挙動を数学的に明らかにした.この様に長距離型の非線型摂動の影響は複雑かつ多様である.
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