| Research Abstract |
Euler-Poisson方程式では,半導体やプラズマの場合,定常解は定数平衡状態に近い形の解だけであるが,気体星の場合は,圧力が密度の指数関数のとき,その指数によって非自明な定常解があり,この定常解の安定性,非安定性が気体星の形成を示唆することが予想されている.今年度は,3次元有界領域において,粘性を考慮した圧縮性Naver-Stokes-poisson方程式を考察し,圧力の密度関数の指数が3/2より大きい場合で,Poisson項がノイマン境界条件のとき,時間大域的弱解の存在の存在を示した.本来気体星の運動は,自由境界値問題であり,その意味で,全空間で考察することが自然であるが,本研究のPoisson項がノイマン境界条件は全空間の近似になっていること,エネルギー不等式が近似方程式で保持される等の利点があることがわかる.
準線形双曲型-放物型方程式系では,十分滑らかな境界をもつ領域における初期値境界値問題の局所可解性を示した.ここで考察した方程式系は,単独の輸送方程式と強放物型方程式系とからなる連立系で,圧縮性Navier-Stokes方程式を典型的な例としてもつような系である.半空間における圧縮性Navier-Stokes方程式では,流出境界条件のもとで考え,平面的定常解の安定性を示した.また,無限層状領域における圧縮性Naiver-Stokes方程式の定数定常解のまわりでの線形化作用素が生成する半群の時間無限大での漸近挙動を解析した.
非線形退化放物型方程式のNeumann境界値問題では解が存在するための必要十分条件を与えた.任意の極大単調グラフに関する非線形退化放物型方程式のDirichlet境界値問題では,解の適切性を証明した。任意の極大単調グラフに関する非線形退化放物型方程式のDirichlet境界値問題を生成する凸関数とその劣微分を定義し、劣微分発展方程式の理論を応用して解の存在を証明した。時間に依存するDirichlet境界条件のもとでPenrose-Fife型相転移方程式系では,解の存在を証明した。
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