爆発項を持つ準線形放物型方程式の解の挙動に関する研究

2006 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 17540171
• Research Institution: Kokushikan University
• Principal Investigator: 鈴木 龍一 国士館大学, 工学部, 教授 (00226573)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 福田 勇 国士館大学, 工学部, 教授 (40103642)
• Keywords: 解の爆発 / 半線形 / 放物型 / 空間無限遠 / 大域解 / 有界性 / 局所反応項

Research Abstract

まず、初期値がu_o(x)【greater than or equal】0である方程式u_t=Δu^m+u^p,(x,t)∈R^N×(0,T)のCauchy問題について考えた。ただし、p>m【greater than or equal】1とする。特に、爆発時刻が、対応する常微分方程式の初期値が‖u_o‖_<L∞(R^N)>である解の爆発時刻と一致するような解を扱った。そのような解を最小爆発時刻で爆発する解と呼ぶ。この解は、他の解と違う幾つかの特徴を持っている。その一つは、空間無限遠で必ず爆発する事である。本研究では、空間無限遠でのみ解は爆発する事を証明し、更にある方向で爆発するための初期値についての必要十分条件を見つける事ができた。これらの結果はm=1での儀我-梅田の結果のm>1への拡張である。これらの結果を用いて、更に解が最小爆発時刻で爆発するための必要十分条件も得る事ができた。今後の課題としては、p【less than or equal】mの時や熱源をu^pの代わりに|x|^σu^pにした時はどうなるのかという問題が残っている。
次に、局所反応項を持つ方程式u_t=Δu^m+u^p(x_o(t),t),(x,t)∈Ω×(0,T)のDirichlet問題について調べた。ただし、p>m【greater than or equal】1、x_o(t)∈Ω(t>0)は滑らかな関数,Ωは滑らかな境界を持つ有界な領域とする。本年度は昨年度から残っていた問題、t→∞の時、局所関数x_o(t)が境界∂Ωから常に離れている場合について研究した。結果としては、半線形m=1の場合には大域解が常に有界である事を示し、同時に解空間の構造を明らかにする事ができた。しかし、準線形m>1の場合は、昨年度からの課題であった解の一意性を示す事ができず、未解決のままである。