2006 Fiscal Year Annual Research Report
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17540173
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| Research Institution | Tokyo University of Science |
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Principal Investigator |
山崎 多恵子 東京理科大学, 理工学部, 助教授 (60220315)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
小林 隆夫 東京理科大学, 理工学部, 教授 (90178319)
立川 篤 東京理科大学, 理工学部, 教授 (50188257)
牛島 健夫 東京理科大学, 理工学部, 講師 (30339113)
柳下 浩紀 京都産業大学, 理学部, 講師 (80349828)
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| Keywords | 抽象波動方程式 / 摩擦項 / 漸近挙動 / 減衰 / 準線型方程式 |
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| Research Abstract |
非負自己共役作用素に対する摩擦項のある抽象Kirchhoff型双曲型方程式は、初期値が十分小さいときには大域解の存在が知られている。この大域解は、時間が無限大に近づいたときに定数係数線形熱方程式の解に漸近することは容易に示すことができる。
ここで今度はKirchhoff型双曲型方程式自身が形式的に非線形放物型方程式に近づくときを考察した。任意の初期値に対し、Kirchhoff型双曲型方程式が十分に非線形放物型方程式に近いときには大域解の存在が保証される。近づき方をパラメータで表すことができるが、今まで知られていた双曲型方程式の解と対応する放物型方程式の解の差のパラメータによる評価は時間に依存し、大域的な評価は得られていなかった。我々は時間に関し一様な大域的評価を与え、さらに、初期値が自己共役作用素の値域に属するときには、2つの方程式の解の差は時間減衰することを示した。我々の示した評価はパラメータと時間減衰を組み合わせたもの、すなわち、時間が小さいときには方程式の近さのみで評価されるが、時間が無限大に近づくと多項式オーダーで近づくことをあらわしたものである。この評価は定数係数抽象波動方程式と対応する熱方程式に対しては、Chill and Harauxが時間が初期時刻から離れているときに示した。彼らは定数係数抽象波動方程式の解の表現公式を用いて証明したが、我々の扱っている方程式の解に対しては表現公式は知られていない。さらに、非線形性から扱いが難しくなる。そこで我々は、直接2つの方程式の解の差を評価するのではなく、間に仮の方程式を挟み、その方程式の解を仲立ちとして、それぞれの解の差との評価を示した。また、表現公式を用いることができないために、積分不等式系から評価を導いた。
この結果は全空間上または境界が滑らかな領域上のKirchhoff方程式に適用できる。
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