2017 Fiscal Year Annual Research Report
The Einstein Equation and Three Dimensional Manifolds
| Project/Area Number |
17H01091
|
|---|
| Research Institution | Gakushuin University |
|---|
Principal Investigator |
山田 澄生 学習院大学, 理学部, 教授 (90396416)
|
|---|
| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
儀我 美一 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (70144110)
白水 徹也 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 教授 (10282716)
松本 幸夫 学習院大学, 理学部, 研究員 (20011637)
泉 圭介 名古屋大学, 基礎理論研究センター, 助教 (90554501)
小野寺 有紹 東京工業大学, 理学院, 准教授 (70614999)
三石 史人 福岡大学, 理学部, 助教 (80625616)
野澤 真人 京都大学, 基礎物理学研究所, 研究員 (60547321)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2022-03-31
|
| Keywords | アインシュタイン方程式 / 調和写像 / ブラックホールの幾何学 / 3次元多様体 / 山辺の理論 / トーリック多様体 / 曲率流 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は、まず5次元真空アインシュタイン時空の構成を２軸対称性のもとで行った。具体的な構成は、アインシュタイン方程式をエルンストの還元法を用いて調和写像に還元することで、ディリクレ問題の解としてアインシュタイン計量を求めた。この結果は、研究代表者（山田）と連携研究者（Khuri, Weinstein）による２本の論文として発表し、現在学術雑誌に投稿中である。これらの結果は、数理物理学者たちによってこの20年間得られてきた5次元定常時空の厳密解の構成法（逆散乱法）と本質的に異なるものであり、定常解のモジュライ空間の幾何学的性質を理解する上で本質的な方法論と考えられる。
また上記のディリクレ問題の境界条件の持つ離散的な情報（Rod構造）を用いて、時空のブラックホールの外的領域の位相的分類を、4次元多様体のplumbingという構成法を用いて行い、その結果を現在論文として分担者（松本）および連携研究者（Khuri, Weinstein）とともに執筆中である。4次元真空アインシュタイン時空の外的領域は位相的には自明なものしかないことがわかっており、5次元は非自明な位相空間が現れる最初の次元である。今回我々が得た結果は低次元微分位相幾何学の一般相対性理論への応用として興味深い。
一方で解析的なアプローチとしては、２軸対称性を持つアインシュタイン時空内の超曲面の動きを、半平面上の曲線の発展方程式と捉えることで、事象の地平線を含む超曲面の曲率流による時間発展を解析する手法の定式化を行った。H30年度以降、この定式化を用いてミンコフスキー空間を含む明示的なアインシュタイン時空における曲率流の解析を進めていく。
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
今年度、5次元時空の存在が調和写像の境界条件との明示的な対応とともに確立されたことは、無数の時空の幾何学的特徴を決定づける３つの道筋が明示的に示されたことを意味する。
まず１つ目の方向性として、トーラス作用を持つ4次元多様体の分類理論を応用することで、事象の地平線の外的領域の表現をする手段が得られた。２つ目の方向性としては、事象の地平線の外的領域上に葉層構造を半平面上での曲線の発展方程式を介して構成する道筋が立ったことで、逆曲率流を含む放物型方程式系の解析的な定式化が可能になった。さらに３つ目の具体性を持つ方向性として、ホーキング・ゲロシュ質量の高次元化への道筋が立ったことがあげられる。
よって今年度の研究課題の進捗は、来年度からの研究に多くの具体的な方向性を与えることに繋がった。
|
| Strategy for Future Research Activity |
今年度に構成した5次元定常時空の位相的、幾何学的、解析的特徴付けを、数理物理的な観点をも取り込みつつ進めていく。これら３つの特徴付けは、互いを補填するものであり、幾何班、解析班、数理物理班の綿密な連携を図りつつ、具体性を失うことなく論文としての研究業績の発表を介した情報発信をしていく。また海外から本研究課題に関連する専門家を招聘し、2018年度のMSJ-SIをはじめとする国際研究集会における情報交換の場を設定する。
|
