2019 Fiscal Year Annual Research Report
複雑領域のポテンシャル解析の深化―非線形PDEと理想境界への応用
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17H01092
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| Research Institution | Chubu University |
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Principal Investigator |
相川 弘明 中部大学, 工学部, 教授 (20137889)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
正宗 淳 北海道大学, 理学研究院, 教授 (50706538)
須川 敏幸 東北大学, 情報科学研究科, 教授 (30235858)
倉田 和浩 首都大学東京, 理学研究科, 教授 (10186489)
平田 賢太郎 広島大学, 理学研究科, 准教授 (30399795)
木上 淳 京都大学, 情報学研究科, 教授 (90202035)
加須栄 篤 金沢大学, 数物科学系, 教授 (40152657)
利根川 吉廣 東京工業大学, 理学院, 教授 (80296748)
志賀 啓成 京都産業大学, 理学部, 教授 (10154189)
鈴木 紀明 名城大学, 理工学部, 教授 (50154563)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | ポテンシャル / 熱方程式 / 調和 / リーマン多様体 / ネットワーク / 変分問題 / 非線形 / 自己相似集合 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
Intrinsic ultracontractivity を応用して，Lipschitz領域やJohn領域をベースにするシリンダー上の熱方程式の優解の可積分性を与え，正値優調和関数の可積分性を放物型に拡張した．境界条件付きの一般化された平均曲率流であるBrakke流の時間大域解存在を証明した．非線形無限ネットワークのラプラシアンを研究し，リウヴィユ性，カシミンスキー条件，Omori-Yauタイプの弱最大値原理などの同値性や正値優調和関数の最小増大度，具体的判定条件について成果を得た．パターン形成に関わるFitzHugh反応拡散系のヘテロクリニック定常解の構成とエネルギー漸近展開を行なった. 3波相互作用を持つ非線形シュレディンガー方程式系に現れる変分問題のエネルギー最小解の存在とその漸近挙動に関する知見を得た.領域の境界の一様完全性や領域の一様性の新しいポテンシャル論的特徴づけを得た．有界Lipschitz領域において，半線形楕円型方程式の正値解に対する境界Harnack原理を，Greenポテンシャルの評価と反復法を用いて示した．孤立境界特異点をもつ正値解の漸近挙動および除去可能性について考察した．自己相似集合の Ahlfors regular conformal dimension と対応する無限グラフの parabolic index の関係および自己相似集合上への p-energy の構成について研究し，parabolic index とAhlfors regular conformal dimension の間の不等式などを示した．ポテンシャル付きの二階楕円型作用素の保存則を定式化して，対応するカシミンスキー・テストを証明した．均質化法のH収束理論を多様体に拡張し，作用素の収束を実現するリーマン計量ならびに複雑な空間への収束する多様体の族の変形理論を構築した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究代表者，分担者ともに活発な研究活動を行い，昨年度は査読付き論文15編（掲載予定を含む），招待講演11件（代表的なものを選定）を行った．ポテンシャル論を中核とし，複素解析，PDE，確率論，幾何学に関連する多様な研究成果が上がった．本研究課題の学術研究員としてAdisak Seasaneaを継続雇用し，非線形PDEと実解析の関連研究を続けた．ダブリン大学のGhergu准教授を招聘し，中部大学，名古屋大学，東京大学でセミナー・研究討論を行うとともに，研究代表者は2020年2月ダブリン大学を訪問してGhergu准教授，Gardiner教授と共同研究を行った．
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| Strategy for Future Research Activity |
2019年度に上がった研究成果をさらに発展させ，研究代表者と分担者は協力してポテンシャル解析を様々な局面に応用していく．名古屋周辺のポテンシャル論関係者と連絡を密にして研究を推進する．とくに名城大学の鈴木教授にはポテンシャル論セミナーを定期的に開催してもらい，ポテンシャル解析の近似理論への応用を深める．名古屋大学の杉本教授，菱田教授，寺澤准教授の非線形PDEグループとの研究交流を活性化する．北海道大学においては学術研究員のAdisak Seasaneaを引き続き雇用して，非線形PDEと実解析の関連研究を続ける．
ただ，本年度は新型コロナウイルスの問題により，自由な研究活動が阻害されている．研究者招聘・訪問・国内，国際会議の開催には困難が伴うことが予想される．インターネットを通じた研究活動を継続していくが，対面でないと伝わらない研究の機微がある．新型コロナウイルスの収束状況を注視しつつ，国内外の研究活動を続けるが，本研究計画の一部を次年度へ繰り越すことも検討する．
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