2017 Fiscal Year Annual Research Report
New developments of the philosophy of mathematics
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17H02263
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| Research Institution | Kobe University |
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Principal Investigator |
菊池 誠 神戸大学, システム情報学研究科, 教授 (60273801)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
岡本 賢吾 首都大学東京, 人文科学研究科, 教授 (00224072)
岡田 光弘 慶應義塾大学, 文学部(三田), 教授 (30224025)
三好 博之 京都産業大学, 理学部, 教授 (60286135)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 数学の哲学 / 論理学の哲学 / 計算の哲学 / 数学基礎論 / 証明論 / 集合論 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
現代の数学の哲学には (1) 数学の算術および集合論への還元，(2) 一階論理上での集合論の公理化，(3) 一階論理による証明概念の形式化，(4) チューリング機械による計算可能性の特徴付けという［四つの原理］がある．本研究はこの［四つの原理］と現代の［標準的数学観］の関係，［四つの原理］とそれらの相互の関係をに検討することで，数学の哲学の新たな展開と，計算・推論・情報の 概念の哲学的解明を目指すものである．平成29年度中には以下の活動を行った．(1) 平成29年6月5日に京都産業大学むすびわざ館において，平成29年12月5日に首都大学東京秋葉原サテライトキャンパスにおいて「数学の哲学セミナー」を開催した．(2) 日本科学哲学会2017年度大会においてワークショップを開催した．(3) 平成30年1月7日および8日に京都産業大学サギタリウス館において「数学の哲学ウィンタースクール」を開催した．これらの活動の結果として，以下の成果を得た．(1) 竹内の証明論を中心に20世紀の数学の哲学を振り返るための議論の枠組みを構築し，今後3年間の研究活動の目標を明確なものとした．(2) 現代の論理学に対するカントやデカルトの哲学の影響について議論し，現代の論理学の理解における古典から中世の論理学の分析の重要性を明らかにして，今後3年間の研究活動の目標を定めた．(3) ダメットの哲学と無際限に拡張可能な数学観の基礎ならびに複数論理について議論した．(4) 様相論理や直観論理，量子論理の基本的な性質を明らかにして，それらについていくつかの予想を得た．(5) ユニヴァレントな数学の基礎について型理論とそれを内部言語に持つ弱高次元圏整備について研究した．(6) 証明論の図的・グラフィク表示の仕方の違いが判断や意思決定に及ぼす影響を調べた．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究は数学および哲学の両面から数学の哲学の［四つの原理］と現代の［標準的数学観］を再検討し，さらに，［四つの原理］の分析と改訂を目指すものである．前者は中長期的な研究で，単年度で成果を求めるものではなく，本研究の研究期間全体を通して成果を挙げることを目指すものである．後者はより短期的な研究である．平成29年度中は，前者については，Buss，Sieg，Krajicek，新井敏康という数学の哲学および数理論理学を代表する研究者と共同で竹内の証明論について議論するための枠組みを構築し，さらに古典および中世の論理学の再検討，ライプニッツ，デカルト，カントの哲学が現代の哲学に与えた影響の分析，フレーゲ，フッサール，ウィトゲンシュタイン，クワイン，ダメットの哲学の再検討，集合論，圏論，計算論の関係を軸とした現代の数学の分析を行うための枠組みを構築した．また，後者については，特に様相論理，直観論理，量子論理や，型理論と圏論，図的推論の研究などにおいて一定の研究成果を挙げることができた．これらはいずれも当初の目標を達成するものであり，当初予期していないことは起きていない．従って，全体としては概ね順調に進展していると判断される．
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| Strategy for Future Research Activity |
平成30年度中には「数学の哲学セミナー」を複数回実施し，計算の哲学に関するワークショップを開催する予定である．また，平成30年9月には算術の無矛盾性証明について「数学基礎論サマースクール」と国際研究集会「Advances in Mathematical Logic」を，平成31年1月には「数学の哲学ウィンタースクール」を開催の予定である．これらの活動を通して，数学の哲学の［四つの原理］と現代の［標準的数学観］の再検討については前年度の研究成果に基づき詳細の検討を開始する．［四つの原理］の分析と改訂については特にフレーゲの哲学，様相論理，量子論理，型理論，圏論，証明論，集合論，算術および実数論の研究を重点的に進める．
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