2018 Fiscal Year Annual Research Report
New developments of the philosophy of mathematics
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17H02263
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| Research Institution | Kobe University |
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Principal Investigator |
菊池 誠 神戸大学, システム情報学研究科, 教授 (60273801)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
岡本 賢吾 首都大学東京, 人文科学研究科, 教授 (00224072)
岡田 光弘 慶應義塾大学, 文学部(三田), 教授 (30224025)
三好 博之 京都産業大学, 理学部, 教授 (60286135)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 数学の哲学 / 論理学の哲学 / 計算の哲学 / 数学基礎論 / 証明論 / 集合論 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
現代の数学の哲学には (1) 数学の算術および集合論への還元，(2) 一階論理上での集合論の公理化，(3) 一階論理による証明概念の形式化，(4) チューリング機械による計算可能性の特徴付けという[四つの原理]がある．本研究はこの[四つの原理]と現代の[標準的数学観]の関係，[四つの原理]とそれらの相互の関係をに検討することで，数学の哲学の新たな展開と，計算・推論・情報の概念の哲学的解明を目指すものである．2018年度中には以下の活動を行った．(1) 2018年9月3日から9月6日まで神戸大学六甲台第二キャンパス内工学研究科において「数学基礎論サマースクール（テーマ：証明論，特に算術の無矛盾性証明）」を開催した．(2) 2018年9月18日から20日まで神戸大学瀧川記念会館において「Symposium on Advances in Mathematical Logic 2018（竹内外史追悼シンポジウム）」を会した．(3) 日本科学哲学会2018年度大会においてワークショップ「計算の哲学：推論および物理的現象との関係の再考に向けて」を開催した．(4) 共立数学文献を読む会において講演「幾何学の基礎に関するフレーゲ・ヒルベルト論争について」を菊池誠が行なった．これらの活動の結果として，以下の成果を得た.(1) 竹内の証明論と集合論の哲学の特徴について分析を行い20世紀の数学基礎論についての議論の枠組みの詳細を定めた．(2) フレーゲ以前の論理学，フレーゲ，ヒルベルトの量化と含意についての考え方の共通点と相違点の分析の重要性を明らかにした．．(4) 量子論理の基本的な性質についての議論を進めた．(5) 不完全性定理と有限の立場についての分析を行なった．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
本研究は数学および哲学の両面から数学の哲学の[四つの原理]と現代の[標準的数学観]を再検討し，さらに，[四つの原理]の分析と改訂を目指すものである．前者は中長期的な研究で，単年度で成果を求めるものではなく，本研究の研究期間全体を通して成果を挙げることを目指すものである．後者はより短期的な研究である．2018年度中は，前者については特に，Buss，Sieg, Girard，八杉満利子，難波完爾，小澤正直を招待講演者として国際シンポジウムを開催した．その Proceedings は2019年度中に出版の予定である．ただし，2018年度中に開催の予定であった数学の哲学ウィンタースクールは内容を検討することに時間がかかり開催時期を2019年夏に延期している．後者については「数学基礎論サマースクール」を開催して算術の無矛盾性証明を現代的な視点から分析したが，2018年度中に出版の予定であった算術の無矛盾性証明についての共著の研究書は執筆が遅れている．また，フレーゲとヒルベルトの論争の概要を明らかにし，さらに量子論理の基本的な性質についての議論を進めたが，いずれも研究成果としてまとめるまでには至っていない．以上のことから全体としてはやや遅れていると判断される.
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| Strategy for Future Research Activity |
2019年度中には「数学の哲学セミナー」を複数回実施し，計算の哲学に関するワークショップを開催する予定である．また，2019年8月に「数学の哲学サマースクール」を， 2019年9月には集合論，特に選択公理と連続体仮説について「数学基礎論サマースクール」を開催の予定である．これらの活動を通して，数学の哲学の[四つの原理]と現代の[標準的数学観]の再検討については前年度の研究成果に基づき詳細の検討を継続する．[四つの原理]の分析と改訂については特にゲーデルとクライゼルの哲学，量子論理，型理論，圏論，証明論，集合論，算術および実数論の研究を重点的に進 める.
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