2018 Fiscal Year Annual Research Report
Theory of automorphic forms and quadratic forms
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17H02834
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
池田 保 京都大学, 理学研究科, 教授 (20211716)
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2017-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 二次形式 / エルミート形式 / Gross-Keating不変量 / ジーゲル級数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度は主としてエルミート形式のGross-Keating不変量について研究した。エルミート形式のSiegel級数はGross-Keating不変量，変形Gross-Keating不変量，および補助的なHasse不変量で決定されると考えられる。今年度は室蘭工業大学の桂田氏との共同研究により，これらの三つ組（GK三つ組）を公理的に特徴づけ，GK三つ組の理論を整備した。この研究は現在論文を準備中である。さらにGK三つ組に対してある種のLaurent多項式を定義することができる。このLaurent多項式が与えられたエルミート形式のSiegel級数と一致すると考えられるが、現時点ではまだ証明は完了していない。
今年度は6月にシンガポールで開催された国際研究集会「Pan Asia Number Theory Conference 2018」に主催者として参加し，エルミート形式のGross-Keating不変量について講演を行った。9月には長野県白馬村で第21回整数論オータムワークショップに主催者として参加し，保型形式・保型表現論の研究者の間で広く研究成果を交換して討論を行った。また，この研究集会でヒルベルトジーゲル保型形式について講演を行った。2019年1月に数理解析研究所で開催された研究集会「保型形式，保型表現とその周辺」に参加し，内外の研究者と討論を行った。2019年3月には東京大学で開催された国際研究集会「Representation theory of reductive Lie groups and algebras」において二次形式のジーゲル級数の明示公式について講演を行った。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
前年度に引き続きエルミート形式のGross-Keating不変量の研究で進展があった。エルミート形式のGross-Keating不変量の研究において、エルミート形式にはGross-Keating不変量の他に変形Gross-Keating不変量の導入が必要であるが，実は変形Gross-Keating不変量の方が定義が簡単であり，より扱いやすい対象であることが明らかになった。これによりエルミート形式のGross-Keating不変量の研究がさらに大きく進展した。また，二次形式の場合にも変形Gross-Keating不変量を定義することができるが，エルミート形式の場合と異なりこれはGross-Keating不変量と一致すると考えられる．これにより二次形式のGross-Keating不変量の理論を見直すことも可能であるかもしれない。これらは室蘭工業大学の桂田英典氏との共同研究であり、当初の研究目標のおよそ4分の3程度を達成したと思う。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後の研究においては引き続き桂田英典氏との共同研究によるエルミート形式のジーゲル級数の理論を完成させ、研究成果の発表を行うことを目標にする。令和元年度は長野県白馬村で開催される整数論オータムワークショップの参加し最新の研究成果の発表および情報交換・ディスカッションを行う予定である。
また令和元年12月にオーバーヴォルファッハ（ドイツ）で開催される保型形式の国際研究集会にオーガナイザーとして参加し，関連分野の研究者と討論を行い最新の研究成果について情報交換を行う。
また、これらの研究集会に参加する若手の研究者の旅費を補助し、この分野の研究の発展を支える。
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