2020 Fiscal Year Annual Research Report
Theory of automorphic forms and quadratic forms
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17H02834
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
池田 保 京都大学, 理学研究科, 教授 (20211716)
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2017-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 保型形式 / 保型表現 / 二次形式 / エルミート形式 / 退化Whittaker関数 / Gross-Keating不変量 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度も引き続き二次形式とエルミート形式のGross-Keating不変量について研究した。エルミート形式のSiegel級数はGross-Keating不変量，変形Gross-Keating不変量，および補助的なHasse不変量で決定されることがわかった。エルミート形式にGK三つ組の構成に関する論文を執筆し、投稿する予定である。また、二次形式の拡張GKデータについても、有限体上の交互増大フィルター付きの二次空間対を経由することによりより簡明な構成をすることができたので、これに関する論文も現在執筆中である。これらの不変量の構成法としては、以前は行列を簡約形式という簡明な形に変形する方法を考えていたが、対応する二次加群またはエルミート加群のフィルトレーションを考え、有限体上の二次形式またはシンプレクティック形式の増大列を考えることが有効であることが分かった。有限体上の二次形式は局所体上の二次形式よりも簡単な対象であるので、局所体の剰余標数に関係ない理論構成が可能である点もこの方法の利点である。
Siegel級数の応用として、DIIリフトのフーリエ係数の評価を与える研究も進行中である。これも桂田英典氏との共同研究である。これについても研究成果を得ており、現在論文を執筆中である。
今年度はコロナ禍により研究集会等に対面で参加することができなかったので、旅費を使うことができなかった。延期されていたPan Asian Number Theory Conferenceを令和３年１２月にオンラインで実施し、海外から多くの参加者があった。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
エルミート形式と二次形式ののGross-Keating不変量の研究については一定の進展がある。有限体上の交互増大フィルター付きベクトル空間を考えることにより理論が簡明になることが分かったので、これについてさらにいろいろな考察を行った。局所体上の二次形式またはエルミート形式の不変量を剰余標数によらない方法で構成できるのがわかってきており、これは現時点までの本研究の成果の一つであると思う。今年度は大学業務が例年よりも多忙であったこと、コロナ禍により研究集会への参加などが行えなかったことなどにより研究が全体としてはやや遅れぎみであるが、その中でもDIIリフトのフーリエ係数の評価などでは一定の成果をあげている。また、Seigel級数の応用としてDIIリフトのフーリエ係数の評価を与える研究なども進行している。
さらに一般に退化Whittaker関数が方向で研究を進めることも考えていたが、こちらの方向ではまだ具体的な成果は得られていない。
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| Strategy for Future Research Activity |
Siegel級数についてはかなりいろいろなことがわかってきたので、さらに一般的な退化Whittaker関数を考察してみたい。Siegel型の放物部分群からの退化主系列表現の退化Whittaker関数について同様の構成が可能なのか、退化Whittaker関数はどのような不変量で決定されるのか、Siegel型でないような放物部分群からの退化主系列表現についてはどのようなことがいえるのか、剰余標数によらない構成は可能なのか、など研究テーマは数多くあるが、本研究課題は終わりに近づいているので、具体的な問題にとらわれず今後の研究につながる有用なアイディアの発見に力を注ぎたい。
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