2019 Fiscal Year Annual Research Report
Singularities of surfaces and hypersurfaces in Lorentzian space forms
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17H02839
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| Research Institution | Tokyo Institute of Technology |
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Principal Investigator |
山田 光太郎 東京工業大学, 理学院, 教授 (10221657)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
梅原 雅顕 東京工業大学, 情報理工学院, 教授 (90193945)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | ローレンツ空間型 / 零平均曲率曲面 / 特異点 / 解析的延長 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
３次元ローレンツ・ミンコフスキー空間の零平均曲率曲面の方程式がある種の２次元流体の流れ関数が満たす運動方程式が一致しており，流れ関数と速度ポテンシャルの関係に対応する零平均曲率曲面の双対性が知られている．これを用いて，ベルンシュタイン型の定理「３次元ローレンツ・ミンコフスキー空間の零平均曲率曲面で，空間的平面全体で定義された関数のグラフとして表され，かつ時間的な点をもたないものは平面に限る」を得た．これは「空間的な零平均曲率曲面で空間的平面全体で定義されているものは平面である」というカラビによるベルンシュタイン型定理の一般化である．証明は代表者らによる，零平均曲率曲面の光的な点における「直線定理」の応用である（赤嶺・梅原・代表者）
一方，３次元ド・ジッター空間の平均曲率１をもつ曲面，とくに「解析的カテノイド」と代表者らが呼んでいるもののうち，解析的延長をもつクラスを２つとり，その延長を詳細に調べることができた．とくに，これらのクラス（楕円的カテノイド）においては，解析的延長の像はド・ジッター空間の閉集合で，「波面」と見なすことができる（藤森・川上・國分・ラスマン・梅原・代表者）．
ユークリッド空間の特異点をもつ曲面の計量（特異点において退化する半正定値２次形式）による特徴づけの問題に関連して，与えられた計量をもつ交叉帽子の形式的実現（べき級数による表示）定理を得た（本田・直川・梅原・代表者）．ローレンツ空間型においては誘導計量の退化が特異点を与えるとは限らないが，ここで得られた方法は本課題においても有効であると考える．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
ド・ジッター空間のカテノイドの分類および解析的延長の理解が進んでいる．今年度は具体的に特別なケースを解析したが，解析的延長の一般論の枠組みが固まりつつあり，研究期間内に十分な理論の完成が見込まれる．
また，代表者によるローレンツ・ミンコフスキー空間の零平均曲率曲面に対する直線定理はローレンツ・ミンコフスキー空間の曲面論に応用することができたが，さらに一般のローレンツ多様体の超曲面に一般化され，さらなる応用が期待できる．
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| Strategy for Future Research Activity |
一般に３次元多様体の "曲面" （正則曲面とは限らない）の解析的延長の理論の枠組みを提示し，その枠組において，ド・ジッター空間のカテノイドの解析的延長を分類する.
また，直線定理の，ローレンツ空間型における光的超曲面への応用を考察する．
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