2019 Fiscal Year Annual Research Report
Analysis of elliptic operators and its applications to Geometric Function Theory
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17H02847
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
須川 敏幸 東北大学, 情報科学研究科, 教授 (30235858)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
志賀 啓成 京都産業大学, 理学部, 教授 (10154189)
高橋 淳也 東北大学, 情報科学研究科, 助教 (10361156)
相川 弘明 中部大学, 工学部, 教授 (20137889)
柳原 宏 山口大学, 大学院創成科学研究科, 教授 (30200538)
船野 敬 東北大学, 情報科学研究科, 准教授 (40614144)
坂口 茂 東北大学, 情報科学研究科, 教授 (50215620)
松崎 克彦 早稲田大学, 教育・総合科学学術院, 教授 (80222298)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 擬等角写像 / タイヒミュラー型定理 / 一様完全 / 楕円型作用素 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
研究代表者の須川は主に高次元擬等角写像の局所的な性質（連続度の評価など）および境界における挙動が各点ごとに定義された最大歪曲度からどのような制約を受けるかということについて研究を行った．そのため，高次元におけるタイヒミュラー型の評価を定式化し，さらにそれの境界版も確立した．現在はまだ基礎的な研究段階であるが，より複雑な（擬等角とは限らない）同相写像についての応用が見込まれる．また，一般次元における領域の境界の一様完全性とその領域の距離的またはポテンシャル論的な性質との関わりについてVuorinen氏らとの共同研究において考察を行った．さらに平面領域の場合には双曲計量を用いた新しい特徴付けがいくつか得られており，現在論文の形にまとめているところである．
分担者の相川氏はIntrinsic ultracontractivity の研究を応用して，Lipschitz領域やJohn領域をベースにするシリンダー上の熱方程式の優解の可積分性を与えた．これは正値優調和関数の可積分性に関する結果のの放物型拡張である．
分担者の志賀氏は一般化されたカントール集合の擬等角同値性をそのカントール集合を定義する数列によって評価し，それを用いてある条件のもとでカントール集合のハウ スドルフ次元が等しくなることを示した．
分担者の坂口氏は不連続な伝導係数を持つある楕円型作用素に対する非有界領域上の最大値原理や比較定理を示した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
必ずしも研究計画に書かれたことが実行されているわけではないが，それに代わるような新たな結果がいくつも得られており，確実に研究業績があがっている．
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| Strategy for Future Research Activity |
2019年度における研究で領域の境界の一様完全性と領域の持つ幾何的・解析的性質の一端が明らかにされた．これは非常に興味深い研究方向を示唆するものであり，次年度も引き続きこの方向でVuorinen氏ら関連の研究者らと共同で研究を進めていきたい．また，このアプローチの応用として，擬等角とは限らないより一般の同相写像の内部連続度や境界拡張可能性・連続度など深い性質を追求していきたい．
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