2018 Fiscal Year Annual Research Report
Analysis of large time behavior of solution to nonlinear partial differential equations with dispersion
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17H02851
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
瀬片 純市 東北大学, 理学研究科, 准教授 (90432822)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
眞崎 聡 大阪大学, 基礎工学研究科, 准教授 (20580492)
前田 昌也 千葉大学, 大学院理学研究院, 准教授 (40615001)
高田 了 九州大学, 数理学研究院, 准教授 (50713236)
生駒 典久 慶應義塾大学, 理工学部(矢上), 准教授 (50728342)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 関数方程式論 / 調和解析学 / 変分法 / 流体 / 漸近解析 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究課題では物理学, 工学に現れる非線形分散型方程式に対し, ソリトンおよび散乱という立場から研究を行っている. 研究代表者の瀬片は, 研究分担者の眞崎, Jason Murphy氏とともに今年度は主に, 吸引的なデルタポテンシャルをもつ非線形シュレディンガー方程式の解の長時間挙動について研究を行った. これまでは排斥的なデルタポテンシャルをもつ非線形シュレディンガー方程式の解の散乱問題について研究したが, この研究の次のステップとして, 吸引的なデルタポテンシャルをもつ非線形シュレディンガー方程式の解の長時間挙動について考察した. 空間1次元の場合に初期値が十分小さければ, 吸引的なデルタポテンシャルをもつ非線形シュレディンガー方程式の解が, ソリトン解と分散波に分かれることを, 線形方程式に対するStrichartz評価と加藤の平滑化効果を用いることで証明した. 研究分担者の前田はScipio Cuccagna氏とともに, 非線形シュレディンガー方程式の臨界周波数をもつソリトン解の近くの解で長時間振動するものを構成した. また非線形量子ウォークについて考察し, 小さな解が散乱すること, 連続極限が非線形ディラック方程式に一様に収束すること等を示した. 研究分担者の高田は, 安定成層の影響を考慮した非粘性 Boussinesq 方程式の初期値問題を考察し, 浮力周波数を無限大とする特異極限において，同方程式の解である3次元速度場が，2次元 Euler 方程式の解へ収束することを証明した. 研究分担者の生駒は, 質量に制約条件を課した下での単独方程式に対し変形補題を開発したとともに, 分数冪Laplacianとzero-mass 非線形反応項を伴う方程式に対しabstract critical point theoryを整備することで可算無限個の非球対称解の存在を示した.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
吸引的なポテンシャルをもつ非線形シュレディンガー方程式やべき乗型非線形項をもつ質量劣臨界非線形シュレディンガー方程式に対する散乱問題の解析が当初の計画以上に進んだ. また, 分数冪Laplacianをもつ方程式の解の存在に対し有効な変分法的手法や非粘性 Boussinesq 方程式に有用な振動積分の理論が整備された等, 本研究の主要なテーマの多くが大きく進展した.
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| Strategy for Future Research Activity |
引き続き吸引的なポテンシャルをもつ非線形シュレディンガー方程式の解の長時間挙動について考察する. これまでの研究では小さなソリトンのまわりの解の挙動について詳細な情報を得ることが出来たが, 今後は必ずしも小さいとは限らないソリトンのまわりの解の挙動について考察する. また, 対数型の特異性を持つポテンシャル関数と対数型の非線形反応項を持つ方程式などについても解析を行う. さらに, 分散型方程式を中心とする偏微分方程式に関する2～3日間程度の研究集会を開催し, 国内外の偏微分方程式, 数値解析, 数理物理学の研究者と研究交流を図ることで研究を推進させる.
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