2020 Fiscal Year Annual Research Report
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17H02854
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
中西 賢次 京都大学, 数理解析研究所, 教授 (40322200)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
水谷 治哉 大阪大学, 理学研究科, 准教授 (10614985)
眞崎 聡 大阪大学, 基礎工学研究科, 准教授 (20580492)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 非線形波動 / 散乱理論 / ソリトン |
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| Outline of Annual Research Achievements |
中西は、指数型エネルギー臨界の非線形項を持つ熱方程式について、ユークリッド全空間での特異解の存在と初期値問題の一意性の破れについて研究した。更に関連する Trudinger-Moser 型不等式について、最大化元の存在を分ける臨界増大度の漸近解析を一般空間次元へ拡張した。また、逆２乗冪ポテンシャルを持つ Schrodinger 方程式に対する Strichartz 評価について、Sobolev 指数での必要十分条件をある程度決定した。
水谷は、空間３次元以上で斥力 Coulomb ポテンシャルをもつ Schrodinger 方程式に対して時間大域 Strichartz 評価を証明した。長距離ポテンシャルに対する時間大域 Strichartz 評価はこれが初めてと思われる。Coulomb ポテンシャルは物理的にも重要だが、偏微分方程式の理論的観点からも、スケール則を超えた所での時間大域的に非自明な(線形)挙動を、非線形大域問題に扱い易い評価で捉えられたことは大きな進展であり、今後の応用が期待できる。
眞崎は、空間１・２次元でゲージ不変型非線形項をもつ Klein-Gordon 方程式の終値問題を研究した。これは非線形項の Fourier 級数展開を用いて修正散乱型の解の存在を示す手法で、以前の実数値解に対する結果を複素数値へ拡張したものだが、それによって非線形項の影響が複雑になり、近似形には楕円関数が顕れる。また、デルタポテンシャル付きの非線形 Schrodinger 方程式に対して、定在波解の漸近安定性を示した。これは以前の結果で定在波解が小さい場合に限られていたのを、線形化作用素のスペクトルに関する標準的な条件に置換えたものである。条件の検証は数値計算によるが、方程式の特殊性を生かして理論的に証明する可能性も期待できる。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
新型コロナウイルスの影響により、研究集会や対面での研究連絡が中止・延期されるなど当初の計画は大幅に変更されたが、二度の繰越を経て国際研究集会も行うことができて、研究の進捗もかなり取り戻すことができた。
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| Strategy for Future Research Activity |
本研究課題の期間は終了したが、様々なソリトンとその周辺のダイナミクスや線形化時空評価から、波動乱流や確率波動との繋がりまで、未解決・未開拓の問題は多く、これらの内容については今後も継続して探求していく。
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