2019 Fiscal Year Annual Research Report
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17H02855
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| Research Institution | Waseda University |
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Principal Investigator |
田中 和永 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (20188288)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
大谷 光春 早稲田大学, 理工学術院, 名誉教授 (30119656)
小澤 徹 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (70204196)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 変分問題 / 非線形楕円型方程式 / 非局所問題 / 特異摂動問題 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
非局所問題に対する L2 制限問題について進展があった. 非局所方程式問題として分数べきのラプラシアンを伴う非線形スカラーフィールド方程式を扱い, S. Cingolani 氏, M. Gallo 氏と共に正値解の存在および解の多重度を示すことに成功した. 非線形シュレディンガー方程式に対する L2 制限問題を研究する際に開発された Lagrange formulation による変分的特徴付けを用いたアプローチを適用し, 対応する汎関数の幾何学的特徴をとらえ Pohozaev mountain に適応したミニマックス法および適切なエネルギー評価を構成することにより解の存在は得られた. 昨年度得られた非局所 Choquard 方程式に対する研究とあわせ, 今後の主要な研究テーマである非局所問題に対する特異摂動下での L2 制限問題の研究の基礎のひとつとなるものである.
L2 制限問題を扱う際には Palais-Smale-Pohozaev 条件 ((PSP) 条件) の下での変形理論 (deformation theory) が有効であることを見いだしている. ここで (PSP) 条件とは従来の Palais-Smale 条件 ((PS) 条件) に Pohozaev 関数の効果を加味することにより導入されたコンパクト性条件であり, (PS) 条件より適用範囲が広い. 今回 (PSP) 条件下での変形理論の整備が進み広い範囲の非線形楕円型方程式等に適用が可能となった. 特異摂動問題に対する適用を目指してさらに理論の整備が進んでいる.
また 生駒氏, Z.-Q. Wang 氏, C. Zhang 氏との共同研究において特異性を持つ非線形項を伴う対数型非線形性をもつ非線形楕円型方程式に対して伴う問題を扱い, 局在解の構成等に成功した.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
非線形 Choquard 方程式, 分数べきラプラシアンを伴う非局所非線形楕円型方程式に対して L2 制限問題の解の存在, 多重性を示すことに成功した. また Palais-Smale-Pohozaev 条件下での変形理論 (deformation theory) の研究も進み L2 制限下での特異摂動問題の
研究が現在順調に進展している.
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| Strategy for Future Research Activity |
今までの研究の進展をふまえ, 非局所問題を中心に特異摂動問題に取り組む. 特に L2 制限問題はその formulation に由来する難しさから, 非線形シュレディンガー方程式に対しても満足な結果は得られていない. ここでは Lagrange formulation を用いたアプローチを試み, 新しく開発した tail minimizing method の適用を行う.
また劣線形楕円型方程式および Dirac 方程式等の方程式系に対する特異摂動問題にも取り組む.
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