2018 Fiscal Year Annual Research Report
New Developments of Dynamical Systems Theory for Diverse Mathematical Models
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17H02859
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
矢ヶ崎 一幸 京都大学, 情報学研究科, 教授 (40200472)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
伊藤 秀一 金沢大学, 数物科学系, 教授 (90159905)
名和 範人 明治大学, 理工学部, 専任教授 (90218066)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 力学系 / 反転可能系 / 偏微分方程式系 / 分岐 / ホモクリニック軌道 / パルス解 / 標準形 / 非可積分性 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
応用分野で現れる多様な数理モデルに対する力学系理論に基づく新しい理論の構築を目指して以下の研究を行った．
・反転可能系を対象として，サドル型平衡点に対するホモクリニック軌道のサドル・ノード分岐，トランスクリティカル分岐およびピッチフォーク分岐が起こるための十分条件を与えた．これらのホモクリニック軌道は偏微分方程式系のパルス解にしばしば対応するものであり，得られた結果はパルス解の分岐，さらには偏微分方程式系における局在パターン形成の問題への応用に発展が期待されるものである．
・Sobolevの臨界指数をもつ連立楕円型非線形偏微分方程式を取りあげ，上記の結果を拡張して適用するなどして，球対称正値解のトランスクリティカル分岐およびピッチフォーク分岐が起こることを証明した．楕円型非線形偏微分方程式の正値解に対しては古くから大きな関心が寄せられており，得られた結果はさらに連立方程式の場合に発展させたものである．
・余次元2の分岐であるfold-Hopf分岐および2重Hopf分岐の標準形を取りあげ，AyoulーZungにより拡張されたMorales-Ramis-Simo理論を用いて，ほとんどすべてのパラメータの値に対して成立する一般的な条件のもと，それらのBogoyavlenskijの意味での非可積分性を証明した．特に，fold-Hopf分岐に対する結果は前年度のものを大幅に改善するものである．取りあげた力学系は，これらの余次元2の分岐が起こる力学系を単純化したものであるにもかかわらず，非可積分であるという事実は大変興味深いものである．また，一般的な状況において元の力学系が可積分であるとき低次元化系も可積分となることを示し，一般的な平面ベクトル場に対して非可積分性であるための十分条件を与えた．これらの結果は他の多くの力学系に対しても有用なものである．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
応用分野で現れる多様な数理モデルに対する力学系理論に基づく新しい理論の構築を目指して以下の研究成果を得ている．
・摂動を受ける無限次元ハミルトン系の形の非線形偏微分方程式に対して相対平衡解の分岐および安定性に関する手法の確立；反転可能系におけるサドル型平衡点に対するホモクリニック軌道のサドル・ノード分岐，トランスクリティカル分岐およびピッチフォーク分岐現象の解明；Sobolevの臨界指数をもつ連立楕円型非線形偏微分方程式における球対称正値解のトランスクリティカル分岐およびピッチフォーク分岐の発生；余次元2の分岐であるfold-Hopf分岐および2重Hopf分岐の標準形に対するBogoyavlenskijの意味での非可積分性の証明
また，最終的な結果は得られていないものの，以下の研究を行っている．
・サドル・センター型の平衡点を有する反転可能系に対してカオス軌道の存在を証明するための方法の確立および非可積分性との関連性の解明；光ファイバ・センサのひとつであるファイバ・ブラッグ・グレーティングのモデルを含む非線形偏微分方程式における
パルス波の安定性の決定；自明な平衡点を有する，確率的な摂動を受ける系に対する，確率1でのカオス軌道の存在を証明するための手法の提案；非線形シュレディンガー方程式における高周波数振動成分へのエネルギー遷移現象に対するハミルトン系および保存系の立場からの解析；複雑なネットワークの数理モデルを与える，複数のグラフに依存する結合振動子系に対して連続極限の手法の有効性の証明
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| Strategy for Future Research Activity |
応用分野で現れる多様な数理モデルに対する力学系理論に基づく新しい理論の構築を目指して，最終的な結果が得られていない問題の解決に努めるとともに，以下の研究を行う．
・4次元以上の反転対称系において，対称周期軌道の1パラメータ族の分岐と対称周期軌道の安定性に関する新しい理論を構築する．分岐についてはこれまでにパラメータの稠密な値において分岐が起こる具体例を与えるなど大きな研究成果が得られているが，本研究では，分岐により発生した対称周期軌道の安定性を摂動論的なアプローチにより決定する．
・あるクラスの非線形連立偏微分方程式を取りあげ，反転対称性をもつ常微分方程式系におけるサドル型のホモクリニック軌道に対応したパルス解の分岐と安定性を解析するための手法を提案する．
・第一積分あるいは可換なベクトル場を有する系が摂動を受ける場合を取りあげ，第一積分あるいは可換なベクトル場が保存するための条件を明らかにする．
・遅れフィードバック制御を受ける系を取りあげ，周期解や爆発解の存在および関連する分岐現象を明らかにする．
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