2019 Fiscal Year Annual Research Report
New Developments of Dynamical Systems Theory for Diverse Mathematical Models
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17H02859
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
矢ヶ崎 一幸 京都大学, 情報学研究科, 教授 (40200472)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
伊藤 秀一 首都大学東京, 理学研究科, 客員研究員 (90159905)
名和 範人 明治大学, 理工学部, 専任教授 (90218066)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 力学系 / 第一積分 / 可換ベクトル場 / ネットワーク / 結合振動子系 / 中心多様体 / 時間遅れ系 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
応用分野で現れる多様な数理モデルに対して，力学系理論に基づく新しい理論の構築を目指して以下の研究を行った.
・周期軌道あるいはホモクリニック軌道，および第一積分あるいは可換なベクトル場を有する一般的な力学系が摂動を受ける場合を取りあげ，それらが保存するための必要条件を求めた．また，得られた結果と，力学系の分野でよく知られているMelnikovの方法との関係を明らかにした．さらに，周期外力の作用するDuffing系，ドローンの数理モデルである，周期外力の作用する剛体，座屈ばりの3モード近似方程式に対して適用し，理論結果の有用性を明らかにした．
・複雑なネットワークの数理モデルを与える，複数のグラフに依存する結合振動子系を取りあげ，連続極限の手法の有効性を数学的に証明した．また，複数の自由振動数を有する蔵本モデルに対して適用し，数値シミュレーションの結果と比較するなどして理論結果の有効性および有用性を確認した．
・力学系のダイナミクスを理解する上で不変多様体の存在は非常に重要である．安定多様体と不安定多様体については確立された数値計算法があるものの，中心多様体については多項式近似による計算が行われているのが現状となっている．本研究では，チェビシェフ・スペクトル法を用いて，平衡点の中心多様体を数値的に計算する手法を提案した．2次元系や2自由度および3自由度ハミルトン系に対して適用し，本手法の有効性および有用性を明らかにした．
・遅れフィードバック制御を受ける非線形系を取りあげ，平均法を用いるなどして有限時間爆発解の存在を数学的に証明した．さらに，数値シミュレーションを行い，理論の有効性および有用性を確認した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
応用分野で現れる多様な数理モデルに対して，力学系理論に基づく新しい理論の構築を目指して以下の研究成果を得ている．
・摂動を受ける無限次元ハミルトン系における相対平衡解の分岐および安定性に関する手法の確立；反転対称系におけるサドル型平衡点に対するホモクリニック軌道のサドル・ノード分岐，トランスクリティカル分岐およびピッチフォーク分岐現象の解明；Sobolevの臨界指数をもつ連立楕円型非線形偏微分方程式における球対称正値解のトランスクリティカル分岐およびピッチフォーク分岐の発生；余次元2の分岐であるfold・Hopf分岐および2重Hopf分岐の標準形に対するBogoyavlenskijの意味での非可積分性の証明；摂動系における周期軌道，ホモクリニック軌道，第一積分および可換なベクトル場の保存についての理論の提案；複数のグラフに依存する結合振動子系に対する連続極限の有効性の数学的証明；平衡点の中心多様体に対する数値計算手法の提案；遅れフィードバック制御を受ける非線形系における有限時間爆発解の存在の数学的証明
また，最終的な結果は得られていないものの，以下の研究を行っている．
・サドル・センター型の平衡点を有する反転可能系に対してカオス軌道の存在を証明するための方法の確立および非可積分性との関連性の解明；光ファイバ・センサのひとつであるファイバ・ブラッグ・グレーティングのモデルを含む非線形偏微分方程式におけるパルス波の安定性の決定；自明な平衡点をもち，確率的な摂動を受ける系に対する，確率1でのカオス軌道の存在を証明するための手法の提案；非線形シュレディンガー方程式における高周波数振動成分へのエネルギー遷移現象に対する力学系理論からの解析
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| Strategy for Future Research Activity |
応用分野で現れる多様な数理モデルに対して，力学系理論に基づく新しい理論の構築を目指して，最終的な結果が得られていない問題の解決に努めるとともに，以下の研究を行う．
・感染症伝播のさまざまな数理モデルを取りあげ，力学系理論の手法を用いて最適制御を適用し，感染症対策についての有用な知見を得る．
・Bogoyavlenskij可積分な系の摂動系の可積分性判定のための理論を構築する．
・4次元以上の反転対称系において，対称周期軌道の1パラメータ族の分岐と対称周期軌道の安定性に関する新しい理論を構築する．分岐についてはこれまでにパラメータの稠密な値において分岐が起こる具体例を与えるなど大きな研究成果が得られているが，さらに，分岐により発生した対称周期軌道の安定性を摂動論的なアプローチにより決定する．
・あるクラスの非線形連立偏微分方程式を取りあげ，反転対称性をもつ常微分方程式系におけるサドル型のホモクリニック軌道に対応したパルス解の分岐と安定性を解析するための手法を提案する．
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Research Products
(45 results)
