2017 Fiscal Year Annual Research Report
Search for a/the correct framework(s) of quantum field theories
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17H04837
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
立川 裕二 東京大学, カブリ数物連携宇宙研究機構, 教授 (10639587)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 場の量子論 / 対称性 / 量子異常 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
場の量子論の正しい数学的枠組みはどうあるべきか？という問題を考察している。直接、枠組みを書き下そうというよりは、正しい数学的捉え方が特に必要であるような場の理論の問題を考察することによって、理解を深めようとしている。特に、場の量子論の扱いにおいて、対称性をどう捉えるかというのは重大な問題であるが、これについていくつかの結果を発表した。
まず、対称性は数学的には群であらわされるというのが数年前までは通常の理解であったところ、もっと一般的な数学的構造が現れうるということがわかってきている。これについて、2次元の場の理論においての有限対称性はユニタリ融合圏で記述されることを詳述した共著論文を発表した。この結果は他グループにより、2次元共形場理論に共形不変性を破る変形を加えた場合での解析などに既に使われている。また、高次元の場の理論については、通常の群でなく、2-群や3-群と呼ばれる高階の構造が現れるが、そのような例の簡単な構成法についても論文を発表した。さらに、対称性が通常の群である場合においても、その量子異常については近年大きな理解の進展がある。これに基づいて、八次元のゲージ理論の量子異常や、四次元のマックスウェル理論の双対対称性の量子異常に関する共著論文を発表した。
また、夏の国際数学者会議で招待講演を依頼されたため、そのために場の量子論の枠組みに関する予稿を準備し、プレプリントとして発表した。
また、日本数学会の秋の学会においては、招待講演で、同様の内容の発表を行った。
また、共形場理論をその基本公理であるブートストラップ方程式から理解するという研究も進行中であるが、これについては2結果はまだ発表できていない。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究実施計画においては、元来の研究目的である、場の理論の正しい数学的枠組みへ向けての考察の第一段階として、二次元の場の理論において既に数学的に理解が進んでいる頂点作用素代数という枠組みから出発し、これを徐々に高次元化することによって、研究目的を達成しようとしていた。しかし、その方法ははじめの予想以上に困難であるということが判り、それに関する研究成果は今の所発表出来ていない。
しかしながら、元来の研究目的の達成のために、すこし異なる研究テーマとして、場の量子論における対称性の概念、また対称性の量子異常の概念についての数理的な解析をも遂行することにした。こちらに関しては、当初の想定以上に研究が進展し、発表した結果も国内国外の他グループに有意義に用いてもらっている。
このように、予定通り研究の進まなかった点と、予期せず研究が進んだ点とが拮抗しているので、差し引きを考えると、概ね順調に研究は進展していると言えるのではないかと考える。
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| Strategy for Future Research Activity |
上記進捗状況にも書いたとおり、元来の研究計画に述べた、二次元の共形不変性を場の理論に対する頂点作用素代数の理論の高次元化から場の理論の数学的枠組みを調べるという方向性は今の所うまくいっていない。しかしながら、同じく場の理論の数学的枠組みを調べるという観点で、場の量子論における対称性とその量子異常の数学的な理解のための研究を遂行中であり、こちらは順調に結果が出ている。成果の差には、偶然の寄与も多いであろうが、第二のテーマに関しては、非常に有能な共同研究者を複数得られたという点が大きいように思われる。
そのため、今後の方針としては、まず、この後者の方向性への努力を継続し、続けて研究結果を発表出来るように心がけたい。また、二次元に留まらない高次元の共形場理論の数学的研究も諦めずに続けていきたいと思っている。こちらに関しては、有能な共同研究者を得る必要があると思われるので、それにも良い方法を考えたい。
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| Remarks |
研究発表や、非専門家むけ講演のスライド、ビデオを公開している。
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