2021 Fiscal Year Annual Research Report
Innovative research of geometric topology and singularities of differentiable mappings
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17H06128
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
佐伯 修 九州大学, マス・フォア・インダストリ研究所, 教授 (30201510)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
大本 亨 北海道大学, 理学研究院, 教授 (20264400)
鎌田 聖一 大阪大学, 大学院理学研究科, 教授 (60254380)
石川 昌治 慶應義塾大学, 経済学部(日吉), 教授 (10361784)
遠藤 久顕 東京工業大学, 理学院, 教授 (20323777)
岩瀬 則夫 九州大学, 数理学研究院, 教授 (60213287)
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| Project Period (FY) |
2017-05-31 – 2022-03-31
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| Keywords | round fold map / Morse関数 / モノドロミー / 次世代カタストロフ理論 / 情報幾何学 / 双対平坦構造 / 波面 / パーシステントホモロジー |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究では，具体的かつ強力な幾何的アイデアを写像の特異点論に持ち込むことで，既存の概念・定式化・手法を革新し，特に大域的特異点論の飛躍的発展を図ること，そして逆に幾何的トポロジーに写像の特異点論から新しい道を切り開き，重要な問題の解決を図ることが目的である．令和３年度は，佐伯が，雇用した学術研究員と共同で，n次元多様体からn-1次元ユークリッド空間へのround fold mapを詳しく調べ，そうした写像を許容する多様体の完全な決定と，そうした写像の右左同値による分類に成功した．特に後者は，曲面上のMorse関数の分類に帰着させることと，ある種のモノドロミーがそうした関数を保つことが鍵となった。n=3の場合は，既知であった単純な安定写像を許容するものと完全に一致するといった意外な結果も得た．さらに大本は，特異点論の進展における波及効果として「次世代カタストロフ理論」の構築を以下のように大きく推進した．情報幾何学において重要な双対平坦構造の理論について，ラグランジュ・ルジャンドル特異点論を全面的に用いて見直し，特異モデルにも適用可能になるように理論を刷新した，確率的カタストロフ理論として，計算機実験を通して多峰性分布族のモードの分岐について応用可能性を調べた．多面体上の波面の伝播やカットローカスの即時的描画アルゴリズムの研究を特異点論的視点から支援した．トーラスやグラスマニアン多様体上のデータクラウドに対して多様体上の距離から重み付きグラフを生成してパーシステントホモロジーを計算することで，多様体のサイクルとデータ分布の特徴づけに関する研究の端緒も開いた．ポセットの新しい有用なクラスとしてmod 2オイラーポセットを導入し，これに関するホイットニー特性類理論を構築した．3次元空間内の非特異線織面および可展面上の特性曲線の局所的特徴づけおよび低次ジェットの分類を行った．
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| Research Progress Status |
令和3年度が最終年度であるため、記入しない。
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| Strategy for Future Research Activity |
令和3年度が最終年度であるため、記入しない。
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