Innovative research of geometric topology and singularities of differentiable mappings

2022 Fiscal Year Final Research Report

• Project/Area Number: 17H06128
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (S)
• Allocation Type: Single-year Grants
• Research Field: Geometry
• Research Institution: Kyushu University
• Principal Investigator: SAEKI Osamu 九州大学, マス・フォア・インダストリ研究所, 教授 (30201510)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 大本 亨 北海道大学, 理学研究院, 教授 (20264400) ; 鎌田 聖一 大阪大学, 大学院理学研究科, 教授 (60254380) ; 石川 昌治 慶應義塾大学, 経済学部(日吉), 教授 (10361784) ; 遠藤 久顕 東京工業大学, 理学院, 教授 (20323777) ; 岩瀬 則夫 九州大学, 数理学研究院, 教授 (60213287) ; 小林 真人 秋田大学, 理工学研究科, 准教授 (10261645)
• Project Period (FY): 2017-05-31 – 2022-03-31
• Keywords: 特異点 / 多様体 / 幾何的トポロジー / 特異ファイバー / Vassiliev型不変量 / Lefschetz束 / 次世代カタストロフィー理論 / データ可視化

Outline of Final Research Achievements

We established a global and concrete simplification method for differentiable maps using geometric topology and discovered that 4-dimensional manifolds always have good structures. We also formulated for the first time the cobordism of maps of manifolds with boundary, which is significant for creating a new research area. Furthermore, we found that nonsingular fibers and singular sets are sometimes not linked, and our application of this discovery to the theory of submersions is a remarkable example of the versatility of the singularity theory. We have also reformulated the theory of dual flat structures, which is important in information geometry, so that it can be applied to singular models as well, and has promoted the construction of next-generation catastrophe theory for applications in various scientific fields.

Free Research Field

トポロジー

Academic Significance and Societal Importance of the Research Achievements

具体的で構成的な幾何的トポロジーの考え方を特異点論の研究に持ち込み、これまでできていなかった特異写像の具体的な構成を可能とし、多様体の構造を明らかにするための新しい手法を開発するなど、微分トポロジーに大きく貢献した。さらに諸科学分野や産業界への応用を推進するため、現代的な特異点論を駆使した次世代カタストロフィー理論の構築を推し進め、統計学やデータ可視化に斬新な手法を提供するための理論的基礎付けを行うなどして、幾何学を超える新研究領域創出に貢献した。