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2017 Fiscal Year Annual Research Report

圏論的力学系の研究

Research Project

Project/Area Number 17J00227
Research InstitutionOsaka University
Research Fellow 菊田 康平  大阪大学, 理学研究科, 特別研究員(DC1)
Project Period (FY) 2017-04-26 – 2020-03-31
Keywords導来圏 / エントロピー
Outline of Annual Research Achievements

圏論的力学系の不変量であるエントロピーについて研究を行った.
非特異射影多様体の自己同値函手のエントロピーに対して,古典的なGromov-Yomdinの定理の自然な圏論的類似としてGromov-Yomdin型等式が成り立つと予想して研究に取り組んだ.実際いくつかの場合で等式が知られている.しかしY-W.Fan氏と大内氏により,K3曲面や偶数次元のCalabi-Yau超曲面の自己同値函手の場合に反例が構成された.そこで「どのようなクラスの自己同値函手がGromov-Yomdin型の等式を満たすか」という問いが自然に出てくる.上記の反例の構成法より,一定の理解は深まったが本質的な理解は得られていない.
代数多様体の自己有限射から定まる圏論的エントロピーと自己射の周期点上の局所力学系に対して定まる局所エントロピーに関する基本的な不等式を証明した.局所エントロピーは局所環上の有限局所自己射に対して定義される量である.特に複素(局所)力学系において重要な対象である超吸引的周期点を環論的に一般化したcontractingな自己射に対して有用である.例えば局所エントロピーを用いた,Kunzの定理のcontractingな射の場合の一般化が知られている.上記の不等式の応用として,代数多様体の自己射の周期点が特異点となることの十分条件を,圏論的エントロピーを用いて数値的に与えた.得られた成果をいくつかの講演で紹介した.講演で非可換環に対するFrobenius函手のKunz型の定理について有益なコメントを頂き,現在検討段階にある.

Current Status of Research Progress
Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

Gromov-Yomdin型の等式に関しては,エントロピーに関して古典的振る舞いと圏論的振る舞いが異なることが明らかになった.これから更なる研究が必要である.
また代数多様体の自己射の周期点上の局所エントロピーと比較することで,圏論的エントロピーの新たな側面の研究も進んでいる.

Strategy for Future Research Activity

引き続き圏論的エントロピーの研究を進めるとともに,三角圏の安定性条件の空間などの興味深い対象との関連性も深めていきたい.

Research Products

(4 results)

All 2018 2017

All Journal Article (1 results) (of which Peer Reviewed: 1 results,  Open Access: 1 results) Presentation (3 results) (of which Int'l Joint Research: 1 results,  Invited: 2 results)

  • [Journal Article] On the Categorical Entropy and the Topological Entropy2017

    • Author(s)
      Kikuta Kohei、Takahashi Atsushi
    • Journal Title

      International Mathematics Research Notices

      Volume: - Pages: -

    • DOI

      https://doi.org/10.1093/imrn/rnx131

    • Peer Reviewed / Open Access
  • [Presentation] Periodic points and Categorical entropy2018

    • Author(s)
      菊田康平
    • Organizer
      代数幾何学小研究集会
  • [Presentation] Entropy of Dynamics on Derived categories2017

    • Author(s)
      Kohei Kikuta
    • Organizer
      Derived category and birational geometry
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] Periodic points and Categorical entropy2017

    • Author(s)
      菊田康平
    • Organizer
      代数幾何学サマースクール2017
    • Invited

URL: 

Published: 2018-12-17  

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