2017 Fiscal Year Annual Research Report
代数多様体の連接層の導来圏の生成系および次元に関する研究
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17J00857
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| Research Institution | Waseda University |
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Principal Investigator |
原 和平 早稲田大学, 理工学術院, 特別研究員(DC1)
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| Project Period (FY) |
2017-04-26 – 2020-03-31
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| Keywords | 非可換クレパント解消 / 導来圏 / フロップ / 変形理論 / モジュライ |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度は傾斜生成対象と呼ばれる三角圏の生成対象の研究から発展して，非可換クレパント特異点解消の研究を行った．
特に，階層化向井フロップと呼ばれるものをはじめとした高次元のフロップを非可換クレパント特異点解消の言葉で理解することを目指した．結果として，階層化向井フロップの最も簡単な例である向井フロップの場合に，フロップ収縮して現れたアフィン多様体の非可換クレパント解消を構成し，またその非可換クレパント解消を箙の道代数として表示することで具体的な代数の構造を明らかにした．また，向井フロップで繋がる2つのクレパント解消がそれぞれ非可換クレパント特異点解消から加群のモジュライ空間として構成できることも証明した．さらに，非可換クレパント解消の変異と呼ばれる操作も研究し，知られているフーリエ向井型の導来同値やPツイストとよばれる自己同値との関係も明らかにすることができた．
特に，自己同値との関係性は以下のようなものであった．非可換クレパント解消は反射加群のエンド環であるが，その反射加群の直和因子を選ぶと，その因子について変異を行うことができる．向井フロップの場合，長オイラー列に準じるような変異を繰り返し行うともとの加群が復元され，このとき伊山-Wemyssの理論より非可換クレパント解消の自己同値が得られる．この自己同値が先のPツイストと同型であることが証明できた．
同様の現象は向井フロップの収縮に限らぬより一般のクレパント解消で成立すると期待できるが，現在は高次元の非可換クレパント解消を統一的に扱える理論がない．そこで状況をより詳しく理解するためにAbuafフロップと呼ばれる複雑な5次元フロップについても同様の研究を行い，向井フロップの場合と同じ現象が起きることを観察した．
傾斜ベクトル束を用いたクレパント解消の間の導来同値の変形についても研究し，これについても成果を得た．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
向井フロップやAbuafフロップについて重要な進展が得られ，論文3篇を発表したものの，非可換クレパント解消の加群のモジュライ，特に安定性の理論についてまだ十分に明らかにできていない．
また，階層化Atiyahフロップの導来同値や非可換クレパント解消の問題が階層化向井フロップの導来同値や非可換クレパント解消の問題に帰着されることを変形理論を用いて明らかにしたものの，階層化向井フロップについての研究はまだ進行中である．
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| Strategy for Future Research Activity |
階層化向井フロップの非可換クレパント解消を用いた研究を続行する．また，非可換クレパント解消の変異と加群のモジュライを作る際の安定性の関係についてのWemyss氏の結果を高次元に拡張する研究も行う．
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